連立方程式の教え方(加減法)

質問

当方教職課程を履修している大学生です。教科は数学なんですが、連立方程式の解法の1つである加減法の教え方について皆さんのご意見を伺いたいと思います。
前提として、「文字が1つ場合の方程式の解法は既知である。」とします。
大まかな流れとして、
文字が1つの場合の方程式は解ける→じゃあ文字を一つにしちゃえばいい→加減法の仕組みを説明→解法のまとめ
といった具合になると僕は考えているのですが、加減法の「仕組み」を説明をする際に生徒の気持ちになって考えると、納得いく説明無しではどうしても「なんで2つの式を足したり引いたりできるの？」という疑問が出てくるような気がするんです。
教える側は両辺に等しい値を足す(引く)からであると分かっていますよね。しかし初めて学ぶ生徒にとっては式と式を足したり引いたりするという動作が未知の行為に感じるはずです。
この仕組みを納得いく形で教えるには具体的にどういった教え方が良いと思いますか？文字とかをなるべく少なくして、かみくだいた形で説明するのが良いと思うのですが…

回答No.3

noname#59057 · ベストアンサー

なんか、大学のレポート課題に出されたかのような問題ですなぁ。懐かしいです。

手元に中学校の教科書があればもっといい答えが思い浮かぶのかもしれませんが、、、
連立方程式x+3y=11 ,x+y=5を、方程式ではありがちな＜天秤＞を使ってみます。
２種類の果物が手元にあることにしまして、xを○、yを◎とあらわすことにします。

上の方程式は
　（　○◎◎◎　）　＝　１１
　（　　○◎　　）　＝　５　　　という状態です。

ここから、片方の果物をなくすことを意識しながら、上の式をいじります。
下の式から（○◎）で重さは５とわかっていますから、左側から（○◎）を取り除くとき、右のおもりも５だけ減らせばつりあいは取れるはずです。

これにより
　（　○◎◎◎　）－（　○◎　）　＝　１１－５
　（　　◎◎　　）＝　６

とまぁ、黒板にりんごとみかんの絵を描いた磁石でも張ってこんな感じでやってみてはどうでしょ？
ポイントとしては、式同士を引くわけではなく、x+3y=(x+y)+2yのような分解を裏で考えて、(x+y)+2y=5+2yの5をさらっと右辺から引いて見せるあたりでしょうかね。

高校で教えてるときには「さも普通のこと」として扱いますが、なかなか説明しにくいものです。。。

お礼

はは、いや別に課題で出されたわけではないですよー。
たまたま中学の問題集パラパラ立ち読みしてたら連立方程式の演習問題が出てたんで、教育実習でここ教える事になったらどうやって教えたらいいかなぁってふと考えたわけです。
天秤ですかー。これすごく面白い考え方ですね！視覚的なイメージでの印象付けって結構大事ですね。私はは天秤の考え方がありがちである事すら知りませんでした（笑）
ご回答ありがとうございました。

回答No.4

ency

方程式って、まず「等式の性質」が前提になっていたような気がします。

等式の性質：
(1) A = B のとき A + C = B + C
(2) A = B のとき A - C = B - C
(3) A = B のとき AC = BC
(4) A = B のとき A/C = B/C (C≠0)

一元一次方程式を解く場合には、まずはこの等式の性質をつかって左辺を「x」だけの式に変形していたはずです。
「移項」等の話は、その後で登場していたはず…。
# 少なくとも、私が家庭教師をしていた頃はそのようになっていたはず
# ただ、もう十年くらい前の話なので、参考程度に聞いてもらった方が
# 良いかも。。。

まずは、このあたりから話をされてみてはいかがでしょうか？
…もちろん、この話が通じればという条件付ですが。。。

お礼

そうですね、確かにこれらの性質があってこそ「移行」という概念が生まれるんですよね。確かに理屈はあってるんですが、黒板にこれらの事を書いて展開しようとしても、文字ばかりで生徒は板書を写すだけで精一杯となると思うんです。もちろん分かる人ならすぐ分かるとは思うんですが、数学が苦手で文字に弱い生徒にとっては多少難しくなってくるのかなぁという気がします。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

rnai

ｘとｙが最初に出てくると混乱するので、ミカンとリンゴにしてみて、やってみます。

Aさんはリンゴ２個とミカン５個かって１１００円だった。
Bさんはリンゴ２個とミカン２個かって８００円だった。
式にすると
リンゴ２個＋ミカン５個＝１１００円
リンゴ２個＋ミカン２個＝５００円

これからミカンの値段が直感でわかることが多いです。
　「ミカン３個の値段は？」と聞けば大体わかると思います。右辺の差の３００円は、ミカン３個の値段だと直感でわかってきたなら、
　左辺同士引いたものは、右辺同士引いたものと同じとわからせて、何度も計算させれば自然と覚えると思います。

お礼

なるほど、理屈じゃなくて直感で「わかった！」って思える例題ですね。ちょっとしたクイズだと思って生徒に聞いてみるといいかもしれませんね。ご回答ありがとうございました。

回答No.1

ooi2-23-go

今ふと浮かんだことをメモ程度ですが回答として書かさせていただきます。参考までに。

ax+by=c
ax+dy=e

これ（こんな感じの）を加減法ですよね？でしたら、

・2＝2　の式の両辺からどんな数（マイナス1億でも分数でもなんでも）を加減しても変わらないことをまず印象ずける。

・そのことから、左辺－塊＝右辺－塊　が、塊が等しければ等式が成り立つと説明する。
（塊の定義は、とにかくなんでもとできるように理解させる）

・二番目の式から、塊と塊が等しいことがわかる。
・だから、一番目の式の両辺から塊と塊をひけば成り立つ。

と言った感じで教えてみてはいかがでしょうか（私の説明がちょっと難しいかもしれませんｗ）

分からない点が多数だと思うので補足ください！！(笑)

ちなみに、私は高校二年です。（関係なし？）

お礼

「塊」っていう表現いいですね（笑）数学的な言葉だと頭が混乱する生徒が出てくる事が考えられるので、一つの方法として参考になりました。
ご回答ありがとうございました。