図形内の面積の求め方。

質問

エクセル上で自分で式を組んで計算させようと試みてるのですが、途中で考えにいきづまってしまいました。分かる方お願いします。

半径1の円があり、その内側に接する形で同じ大きさの2つの楕円が直角にクロスしているとします。

その2つの楕円の重なった部分(曲線で囲まれた四角)の面積を求めたいのですが、公式等求め方ってあるのでしょうか？

それか、もしフリーソフトなどで、図形も描けて、その中の求めたい部分の面積が算出出来るようなものがありましたら、参考にしたいので、知っている方がいましたら、そちらも教えていただけないでしょうか？（なかなか検索しても見つからずに困っております）

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

エクセルで答えを出すと言うことなので近似値を出す方法を書いておきます。
また、質問から楕円の長径が１と言うことは読み取れるのですが短径がいくつか分かりません。対応できるように書いておきます。

面積を二つの楕円の交点で結んだ正方形と残りの扇形のような部分の面積×4で求めるとします。
片方の楕円の式を　x^2/a^2+y^2=1 とすると
二つの楕円の交点はx=yなので　x=a/(1+a^2)^0.5 です。

正方形は簡単に求まるので残りの部分の面積を求めます。沢山の長方形に分割してその和を求める方法です。
まとめの意味でA1,2,3にそれぞれ短径、長径、交点と書きます。（あまり意味ないですが）
B1（短径）に仮に0.5と入れておき、B2には1を入れます。B3には
=B1/SQRT(B1^2+B2)
と入れます。次にC1には
=(B1-B3)/1000　　　　　　　　　　（これが長方形の横になります。一定です。）
と入れます。D1、D2にはそれぞれ
=B3+C1/2
=D1+C$1
と入れ、D2をD1000までコピーペーストします。E1には
=2*SQRT(1-(D1/B$1)^2)*C$1　　　　（これが各長方形の面積です。）
と入れてこれをE1000までコピーします。
F1,G1にはそれぞれ
=SUM(E1:E1000)
=F1*4+(2*B3)^2
と入れれば求める面積がでます。なお、短径B1に1を入れると円の面積になりますがこれで計算してπとの誤差は3.4E-6とかなり正確です。
E列に入れる式を変えればy=f(x)で表されている図の面積は求めることができます。

お礼

正方形と残り４つの部分！ああっ（＞＜）そうですね。
頭が固くなって、発想がそこにたどり着きませんでした。楕円の短径は、任意の数値を入力することで面積を出す形にしたかったのです。短径が変わっても、その時の座標を算出し図として表現するまでは出来てたのですが、面積の出しかたの式の組み立てに困ってたのでした；早速、式を組み込んでみたいと思います。

丁寧な回答、ありがとうございました。