格子点上に出来る正方形の数

質問

下のように縦５横５計２５個の点が格子状に等間隔に
並んでいる時に、４つの点を頂点とする正方形は、
いくつ出来るのか、という問題。

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正直言えば、プレゼントクイズなのですが…(^^；
教えてください。答えと解法

回答No.4

taropoo

２つの整数の組(i, j) (1≦i≦n, 0≦j≦n, i+j≦n)に対し、１つの正方形の角度と大きさが重複なく決まります。
つまり、点Ｏ(0, 0)、点Ａ(i, j)、点Ｂ(i-j, i+j)、点Ｃ(-j, i)として正方形ＯＡＢＣと角度・大きさが同じ正方形です。

重複なくと言うのはある(i, j)に対する正方形と、(i, j)とは異なる整数の組(i', j')に対する正方形の角度と大きさが同じにはならないと言う意味です。
これは
1≦i≦n, 0≦j≦n
とした事により保証されます。

この角度・大きさの正方形がn*nの格子点上にn(i,j)個入るとすると
n(i, j) = {n - (i + j)}^2
よって、n*nの格子点に含まれる正方形の総数は
Σ{j=0~n-1}Σ{i=1~n-j} n(i, j)
= Σ{j=0~n-1}Σ{i=1~n-j} {n - (i + j)}^2
= Σ{j=0~n-1}Σ{i=1~n-j} i^2
一般解は深追いすると大変な事になるのでこの辺で止めておいて問題のn=5の場合の答えを出しましょう。
Σ{j=0~n-1}Σ{i=1~n-j} i^2
= Σ{j=0~4}Σ{i=1~5-j} i^2
= Σ{i=1~1} i^2 + Σ{i=1~2} i^2 + Σ{i=1~3} i^2 + Σ{i=1~4} i^2
= 1 + (1 + 4) + (1 + 4 + 9) + (1 + 4 + 9 + 16)
= 50
と言うわけで５０個入ります。

お礼

こういう回答を待っていました。(;。;)
確かに「数える」っていうのも手だと思うんですけど、
曲がりなりにも数学屋なので…
(なら、自分でやれ、っていうのも聞こえそう…（＾＾；)

何を今さら、と思われると思うんですが、
一般解で考えればよかったんですね。
まず条件式を整えるあたりから勉強しなおします。

とても役に立ちました。ありがとうございました。