固有値に関する定理

質問

Aはｎ×ｎの行列で、EをAの負の固有値に対応する固有ベクトルで張られる空間とします。
ここで、

「固有値の定理より、ｙがEの中にあってかつ0でないならば常に　x'Ax<0　となる」

という記述が本の中にあったのですが、どういう定理なのでしょうか。また、その定理はどういった本にのっているのでしょうか。英語の本でもかまわないので教えてもらえれば幸いです。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

たいした定理ではなくただの二次形式の結果だと思います。二次形式について書かれている本だったらどの本にも載っているようなことだと思います。

簡単に解説しておきますが、「固有値の定理より、ｙがEの中にあってかつ0でないならば常に　x'Ax<0　となる」

はyではなくて、xで、しかもx'はxの転置という意味で間違いないでしょうか。とりあえずそう解釈して説明しておきます。（一番自然な解釈だと思うから）

x'Axというのは成分計算してみればすぐにわかりますが、Axとxの内積に等しいですので、内積を(・,・)で表すと、

x'Ax=(Ax,x)

とできます。xはAの負の固有値(λ<0)に属する0でない固有ベクトルであるとします。すなわち、

Ax=λx

であるわけです。そうすると、

x'Ax=(Ax,x)=(λx,x)=λ(x,x)=λ||x||^2

となります。途中λが内積の外に出るのは、スカラー倍が外に出せるという事実で、一番最後の等号は自分自身との内積が、ノルムの二乗になるという事実からです。xは0でないベクトルなので、最後はλが負であることにより必ずマイナスになります。

この手の議論はいつでも内積の格好で書いてやると非常にスムーズに証明できることが多いと思いますよ。

お礼

>yではなくて、xで
その通りです。間違えました。すみません（汗）

丁寧な解説のおかげでスムーズに理解できました。
x'AxをAxとxの内積として考えるというのは盲点でした。
ありがとうございます！