準正定値とは？

質問

講義で、２次形式　Z = X'AX　が準正定値のとき、凸関数であることを証明せよ

という課題が出たのですが、準正定値をいう単語の意味がわからず
解くことができません。検索エンジンでもそれらしいのが出てこなくて
ここに質問をすることにしました^^;

どなたか教えてください。お願いします

回答No.1

shroeder · ベストアンサー

Z=X'AX (Xはｎ次元ベクトル、Aは対称行列、ですよネ）

この２次形式が準正定値（半正定値、ともいいます）とは
任意のXに対して X'AX＞＝０が成り立つことを言います。

０ベクトル以外の任意のXに対して X'AX＞０が成り立つときは
正定値である、と言います。

たとえば３変数の場合
ｘ^2+y^2+z^2 は正定値
x^2+(y-2z)^2(つまり x^2+y^2+4z^2-4yz） は準正定値 です
x^2+y^2-z^2 は正定値でも準正定値でも負定値でも準負定値でもない
２次形式です。

もし固有値を知っているなら、
Aが正定値であることと、Aのすべての固有値が正であることが同値
Aが準正定値であることと、Aのすべての固有値が０以上であることが
同値です

お礼

なるほど、０以上ということなんですね
証明がこれで導けました。ありがとうございます