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立体角って?
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Umada さんの書かれているように,立体角とは普通の角(平面角)の3次元版です. 平面角の自然な測り方はご承知のようにラジアン(度でなくて)です. ある角が,半径1の円から切り取る円周の長さ, すなわち弧を(ラジアン単位の)角としています. 円周の長さは2πですから,ぐるっと一周の角度は2πです. 半径rの円であれば,切り取る円周の長さの1/rが角です. 同様に,立体的広がり (ソフトクリームのコーン,メガホン,兼六園の雪吊りなど頭に描いてください)が 半径1の球面から切り取る表面積の大きさが立体角(solid angle)です. 半径rの球面なら切り取る表面積の大きさの 1/r^2 です. 単位は「ステラジアン」. │ \ 0────┤dL 0────\ dL r │ r \ 平面角だったら,微小線分 dL (本来小文字のlで書くべきですが,イチと見分けづらいので大文字でLと書いています) に対応する微小角度 dθ は dθ = dL cos φ / r です. φは dL の垂線と半径のなす角.左の場合なら,φ=0 ですね. もちろん,積分したつもりで θ = L/r (あるいは θ= L cos φ / r) なんてしちゃっちゃいけませんよ. これじゃ,弦の長さを見ていることになってしまいます. 微小線分だから,弧も弦も同じなのです. │ \ 0────┤dS 0────\ dS r │ r \ 全く同様の考えで,微小面積 dS に対応する立体角は dΩ = dS cos φ / r^2 です φは微小面積 dS の垂線と半径のなす角. Ω = S / r^2 なんてしちゃいけないことは平面角の場合と同じ. 例えば,Sが半径aの円板でφ=0 のときなら Ω = 2π{1 - r/√(r^2 + a^2)} です. 試験やレポートに出すと, Ω = πa^2 / r^2 という誤答が続出します.
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- Umada
- ベストアンサー率83% (1169/1405)
お恥ずかしい、私の先の回答は間違えてました。すみません。 2次元の場合の角度の定義で、割る数は半径r、 立体角では割る数は rの二乗でした。
お礼
基本としては、 単位長さを半径とした球で考えるのでしょうか?
- Umada
- ベストアンサー率83% (1169/1405)
参考書を引っ張り出すほど難しいものでもないです。 2次元の角度で、ラジアン単位での計測では 「着目している角度に対応する弧の長さ÷円周の長さ」 で定義するのはご存じかと思います。 立体角はこれと似ていまして、ある球の中心から外部を見込んだ時に、 「着目している領域が球面上で占める面積÷球全体の表面積」 で定義されます。 例えば着目している領域が(球の中心から見て)四方八方を覆い尽くしている場合、立体角は4πになります。
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