座標計算の公式

質問

土地家屋調査士の勉強してます。
座標計算で、1秒でも早く解きたいのですが、
A（a,b)、B(c,d)の2点から、ある一定の距離にある点、つまりAから距離e、Bから距離fの関係にある点を求める公式みたいのはありますでしょうか。
関数電卓の持ち込みが可能です。

回答No.4

taropoo · ベストアンサー

公式ではありませんが手早くできそうな手順を。
方針としては平行移動と回転を使って線分ABを中点が原点に重なるようにx軸上に移し、
移った点A',B'からの距離がe,fとなる点P',Q'を見つけ、
最初に線分ABを線分A'B'に移したのと逆の手順で点P,Qの座標を求めると言うものです。

まず平行移動です。これは各点から((a+c)/2, (b+d)/2)を差し引いてやる事で出来ます。
この段階では実際にはなにも計算しません。最後で使います。

次に原点周りの回転を使って線分ABをx軸上に乗せてやります。
それには線分ABとx軸のなす角度αを求めます。tanα = (d-b)/(c-a)なので、
　　　　α = Arctan((d-b)/(c-a)) 　　　　…(1)
で求まります。

中点が原点に移動した線分ABに対し、原点中心、角度-αの回転をすることによりA'(-g,0),B'(g,0)に移ったとします。
このgを求める式は
　　　　g = ((c-a)cosα + (d-b)sinα)/2　　　　…(2)
です。

点A'からの距離がe、点B'からの距離がfである点のうちy座標が正の点をP'(x',y')、負のものをQ'(x',-y')としましょう。
辺A'P'、辺B'P'の長さがそれぞれe,fである事から
(x+g/2)^2 + y^2 = e^2
(x-g/2)^2 + y^2 = f^2
上の式から下の式を引いてgで割ると
　　　　x' = (e^2 - f^2)/g　　　　…(3)
また、三角形A'B'P'の面積をSとすると
S = (底辺)×(高さ)÷2 = gy/2
です。一方、ヘロンの公式により h = e+f+g とすると
S = sqrt(h(h-e)(h-f)(h-g))/2
です。これからyが求まります。即ち
　　　　y' = sqrt(h(h-e)(h-f)(h-g))/g　　　　…(4)
です。
これで点P'(x',y'), Q'(x',-y')が求まりました。

さて折り返し地点を過ぎましたので来た道を帰って行きましょう。
まず、原点中心、角度αの回転。ついでに平行移動もしちゃいましょう。求める点をP(p1,p2),Q(q1,q2)とすると
　　　　p1 = x'cosα - y'sinα + (a+c)/2
　　　　p2 = x'sinα + y'cosα + (b+d)/2
　　　　q1 = x'cosα + y'sinα + (a+c)/2
　　　　q2 = x'sinα - y'cosα + (b+d)/2　　　　…(5)

文章にすると長いように見えますが、番号をつけたところを計算するだけですから割と楽だと思うのですが。
２次方程式解かなくて良いし。他の方法と比べてみてください。

お礼

ありがとうございました。
大変参考になりました。
よくわかりました。