ソレノイドの端の磁界

質問

タイトル通り、ソレノイドの端の磁界の強さH
（A/ｍ）がわかりません。半分のコイルを２つくっつけて端の磁界の大きさはなんとなくnI/2　かという気はするんですが・・・。内部の大きさがｎIだということならアンペールの法則からわかりました。高校の範囲でどなたか時間があいていらっしゃれば教えてください。よろしくお願いします。

回答No.9

Rossana

☆ANo.7では図形から求めたが，それ以外の方法でdxとdθの関係を導く方法
xtanθ=a⇒x=acotθ
において両辺をθで微分してdxとdθの関係を導く．

回答No.8

Rossana

☆ANo.6の補足回答
はい，やっちゃいました．やっぱり高校範囲を少しだけ越えないといけませんね．考え方は良いのですが，高校では以下の公式は習っていないと思いますので，解説します．

半径aの円電流Iにより中心軸上の点に生ずる磁界中心からxの点での磁界：
H=a^2I/{2(a^2+x^2)^(3/2)}

中心では，x=0として
H=a^2I/{2(a^2)^(3/2)}=a^2I/{2a^3}=I/(2a)
となるのです．

質問のソレノイドの問題ではIをIndxに置き換えて
『dH=a^2Indx/{2(a^2+x^2)^(3/2)}』
を使います．

では，H=a^2I/{2(a^2+x^2)^(3/2)}の式はどうやって導くのだ？というとBiot-Savartの法則を使うのです．もし興味があれば導出も教えますが，公式として使えればいいというのであれば『』の公式を使って解いていって下さい．

ということで，
ANo.6
＞この電流が点Pに作る磁界の大きさは、対辺の作る磁場との打ち消しあいを考えてH＝（isinθ）/2rとなるが、
というのはおかしいですよね．
dHを積分する辺りも少し大変かと思いますが，分からなかったら補足下さい．ちゃんと理解できるまでお手伝いします．

回答No.7

Rossana

ANo.5の補足回答
計算は正しいですね．では，ANo.5で使った記号で考えてみましょう．r+drの位置の点をJとします．
すると，三角形HH'Jにおいて
HJ=dx，
HH'=r(-dθ) (←dθ<0なので正にするため－を付けました．)
∠HJH'＝∠HPQ=θ-(-dθ)=θ+dθ=θ (dθは微小なので無視)
ですから，
ANo.4の
＞くからその区間の電流の大きさはi＝nIrdθ。
これは少しおかしい事が分かりますね．
i=nIdx (←これをdθに直して下さい．)
何がおかしいか気付きましたか？
ちょっと用事で出かけるので，すいません．またあとで，回答します．

回答No.6

Rossana

＞この電流が点Pに作る磁界の大きさは、対辺の作る磁場との打ち消しあいを考えてH＝（isinθ）/2rとなるが、
この式はもしかして円電流の中心磁界H=I/2aの公式を使ってその中心軸方向成分だからH=(I/2a)sinθとしたということでしょうか？

補足

はい！！！これってやっちゃいましたか？

回答No.5

Rossana

いくつか誤りがあります．
＞θをdθだけ増やしたときに点Hは2rsin（dθ/2）
まず，この式はどうやって出しましたか？
テスト前だったんですね．ご苦労様です．テストが終わって時間ができたら，補足下さい．
あと，式の導出に使うのに必要なのですが，ビオ・サバール(Biot-Savart)の法則はご存知でしょうか？普通の高校では教えてもらっていないと思いますが．

補足

この式は
　「dθだけ増やしたときに点Hが点H'に移ったとする。このとき二等辺三角形H'PHは∠H'PH＝dθ、H'P＝PH＝rとなっている。点Pから辺H'Hにおろした垂線の足をMとおくとPM＝rsin（dθ/2）でH'H＝2PM＝2rsin（dθ/2）。」
　と考えました。　
　ビオ・サバールの法則は参考書とかで式の形はなんどか見たことがありますが、使ったことはありません。

回答No.4

Rossana

ANo.2の補足回答
図が無いので確かに分かりにくくすいません．以下，図を描いて考えてみてください．
(1)長さL，半径aのソレノイドを描く．→縦2a，横Lの長さの長方形を描くと言う事（左上の頂点から下へ回ってABCDという点とする）．
(2)中心軸となる直線を描いて下さい．
(3)ソレノイドの右端よりはみ出た（これははみ出ているのです．ソレノイドの外部ということです．）中心軸上の点Pを打って下さい．
(4)ソレノイドの内部の中心軸上の点と点Pとの距離をxとして下さい．この点をQとする．点Qから辺ADにおろした垂線の足をHとする．点Hと点Pを結ぶ線分の長さがr．
(5)点Pと点Aを結ぶ．←この線分が中心軸となす角がθ_2．点Pと点Dを結ぶ．←この線分が中心軸となす角がθ_1．
これで，少し分かったでしょうか？日本語が下手ですいません．また，分からなかったらどんどん補足下さい．

補足

返事が遅れてすいません。なにしろ今はテスト前なので勉強に明け暮れる毎日なのです。（言い訳？？？）　すごく丁寧な説明ありがとうございます。やっと設定がわかりましたぁ。僕の場合は、xの使い方がよくわからなかったのでθで積分してみました。以下、僕の考えを記します。
　θをdθだけ増やしたときに点Hは2rsin（dθ/2）、即ちrdθだけ動くからその区間の電流の大きさはi＝nIrdθ。この電流が点Pに作る磁界の大きさは、対辺の作る磁場との打ち消しあいを考えてH＝（isinθ）/2rとなるが、対辺も同じ大きさの磁場を作るので合計2H。あとはこの2Hをθ_1からθ_2まで積分してみると・・・なんか答えが２倍になっちゃいました・・・。どこがダメなんでしょうか？温かい声援をお願いします。何度もすいません。

回答No.3

Rossana

ちなみに，メッチャ長いソレノイドなら，ちょうど端の中心軸上の磁界は
ANo.2の式でθ_1＝π/2 rad(90°)，θ_2≒0 rad(0°)として
H＝nI/2{1-0}＝nI/2.
となりますね．

回答No.2

Rossana

ソレノイドの端からはみ出た中心軸上の点Pの磁界Hなら
半径a，長さL，単位長さ巻き数n，電流Iとすると，
H＝(nI/2){cosθ_2－cosθ_1}
として求まります．θ_2は点Pと左端を結ぶところの角度．θ_1は点Pと右端を結ぶ所の角度．
高校の範囲で(dxとかの表記を使うのがちょっと高校の範囲じゃないが）計算できるので考えてみて下さい．

ヒント1：点Pから軸に沿ってxの距離のところの長さdx
の部分の電流のアンペア回数はIndx.
ヒント2：点Pから軸に沿ってxの距離のところの上のソレノイドの巻いてある部分と点Pとの距離r，rとxの間の角度をθとすると，xtanθ＝a

ちょっと難しいかもしれないけど，頑張ってみて下さい．分からないことがあったら補足下さい．

補足

回答ありがとうございます。早速ですが設定がよくわかりません。「点Pと左端を結ぶところの角度」や「点Pと右端を結ぶ所の角度」をはじめ、「点Pから軸に沿ってxの距離のところの上のソレノイド」とありますが点Pがソレノイドからはみだしているのなら上にはソレノイドなんてないんじゃないのか？、あるとしても中心軸からの真上のソレノイドまでの距離ｒは常にaなのでは？とか疑問だらけです。図みたいな物があればすぐわかると思うんですが、文を読んだだけではサッパリです。我が儘言ってすいません。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

ちょうど端（全く飛び出ていない）なら、「半分のコイルを２つくっつけて端の磁界の大きさはなんとなくnI/2」で正しいはずです。