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質問

下の問題の証明方法を教えてください！

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回答No.3

kiha181-tubasa · ベストアンサー

＞式の2行目(Σ<k=1,p>(1/2^k)tan(x/2^k)+1/{2^(p+1)tan(x/2^(p+1))})の部分の解説をお願いしたいです。

ごく当たり前のことです。つまり
「初項から第(p+1)項までの和は，初項から第p項までの和に第(p+1)項を加えたもの」
ですね。

回答No.2

kiha181-tubasa

№１です。補足への回答です。

＞第2段で青チャートや4ステップではn=pのときの式を利用して最初の式の左辺を変形し最初の式の右辺にn=p+1を代入した式と同じ形にするという方針が主だったのですがそのやり方では解くことは難しいですか？

Σ<k=1,p+1>(1/2^k)tan(x/2^k)
=Σ<k=1,p>(1/2^k)tan(x/2^k)+1/{2^(p+1)tan(x/2^(p+1))}
=1/((2^p)tan(x/2^p))-1/tanx+1/{2^(p+1)tan(x/2^(p+1))}

とする計算ですね。もちろん正解です。結局№１の計算と同じことをしていることになりますね。だから計算の手間もほとんど同じです。

※「くれぐれもn=p+1の時も成り立つことを証明するのに，nにp+1を代入したりしないでね」
というのは，左辺にも右辺にもn=p+1を代入して「はい出来上がり」とするうっかり間違いへの道へ迷い込まないようにということを狙っています。

補足

式の2行目(Σ<k=1,p>(1/2^k)tan(x/2^k)+1/{2^(p+1)tan(x/2^(p+1))})の部分の解説をお願いしたいです。

回答No.1

kiha181-tubasa

問題の性質上，長くなりますが最後まで頑張って読んでください。（）には気を付けたつもりですが……，カッコの初めと終わりが合わないなどあれば前後の関係で直してください。

この証明の中で正接の２倍角の公式
tan2θ=2tanθ/{1-(tanθ)^2}
を使います。大活躍です。
２倍角の公式は教科書等で確かめて証明できるようになってください。その経験がこのような問題を解く際のひらめきの素になります。

以下質問に回答します。
［第１段〕
n=1のとき
左辺=Σ<k=1,1>1/(2^k)/tan(x/2^k)=(1/2)tan(x/2)
右辺=1/{(2^1)tan(x/2^1)}-1/tanx
=1/{2tan(x/2)}-1/tanx
=1/{2tan(x/2)}-1/tan(2*(x/2))
=1/{2tan(x/2)}-(1-(tan(x/2))^2)/2tan(x/2)
　（tanx=tan(2*(x/2))として２倍角の公式を使用。そして逆数）
=(1-(1-(tan(x/2))^2))/2tan(x/2)
=(tan(x/2))^2/2tan(x/2)
=(1/2)tan(x/2)
よって左辺=右辺だから。n=1の時は成り立つ。
(左辺を右辺になるように計算したのはその方がやりやすいからです）

〔第２段〕
n=p（pは自然数）のとき成り立つと仮定すると
Σ<k=1,p>(1/2^k)tan(x/2^k)=1/((2^p)tan(x/2^p))-1/tanx

この両辺に
1/{2^(p+1)tan(x/2^(p+1))}　　（n=p+1のときの項）
を加えると

左辺=Σ<k=1,p>(1/2^k)tan(x/2^k)+1/{2^(p+1)tan(x/2^(p+1))}
=Σ<k=1,p+1>(1/2^k)tan(x/2^k)
　（n=p+1の分が増えた）

右辺=1/((2^p)tan(x/2^p))-1/tanx+1/{2^(p+1)tan(x/2^(p+1))}
=2/((2^(p+1))tan(x/2^p))+(1/2^(p+1))tan(x/2^(p+1))}-1/tanx
　（分母の2^(p+1)をそろえた）
=(1/2^(p+1))(2/tan(x/2^p))+tan(x/2^(p+1))}-1/tanx
=(1/2^(p+1)){2/(tan2*(x/2^(p+1)))+tan(x/2^(p+1))-1/tanx
=(1/2^(p+1)){2/{2tan(x/2^(p+1))/{1-(tan(x/2^(p+1)))^2}+tan(x/2^(p+1))-1/tanx
=(1/2^(p+1)){{1-(tan(x/2^(p+1)))^2}/tan(x/2^(p+1))+tan(x/2^(p+1))}-1/tanx
=(1/2^(p+1)){{1-(tan(x/2^(p+1)))^2+(tan(x/2^(p+1)))^2}/tan(x/2^(p+1))}-1/tanx
=(1/2^(p+1)){1/tan(x/2^(p+1))}-1/tanx
ゆえに
Σ<k=1,p+1>(1/2^k)tan(x/2^k)=(1/2^(p+1)){1/tan(x/2^(p+1))}-1/tanx
これはn=p+1のときも成り立つことを示している。
従ってn=pのときに成り立てばn=p+1の時も成り立つ

以上よりすべての自然数について等式は成り立つ（Ｑ．Ｅ．Ｄ）

となるのですがいかがでしょうか。
くれぐれもn=p+1の時も成り立つことを証明するのに，nにp+1を代入したりしないでね。このように両辺に○〇（n=p+1のときの値）を加えることで計算してください。

補足

ありがとうございます。第2段で青チャートや4ステップではn=pのときの式を利用して最初の式の左辺を変形し最初の式の右辺にn=p+1を代入した式と同じ形にするという方針が主だったのですがそのやり方では解くことは難しいですか？