- ベストアンサー
不等式の証明のとき方を
damegakuseiの回答
- damegakusei
- ベストアンサー率33% (7/21)
ちょっと反則な解法でしょうが、 (左辺)-(右辺)=f(a,b,c)として、 ∂f/∂a=3a^2-3bcより、a^2=bcの時極小となる。 (∵∂^2f/∂a^2=6a>0) 同様に、b^2=acかつ、c^2=abの時、極小となるので、 それらを総合して、 最小となるには、少なくともa=b=cであり、 その条件を満たす時、必ずf=0となる。 よってfの最小値は0であり、f≧0とわかる。 この解法は反則でしょうか? ちなみに、∂f/∂aと言うのは、fはaとbとcの関数なのですが、b,cについては考えず、aにだけ注目して、・・・(略)・・・、と言う、編微分と言う操作です。 作業の内容としては微分と同じと思って問題無いです。 まともに変形のみで済ます方法を考えたのですが、思いつきませんでした。(汗
関連するQ&A
- 不等式の証明について
|a|<1、|b|<1、|c|<1のとき、ab+1>a+bを用いてabc+2>a+b+cを証明する問題で、 |a|<1、|b|<1より、|ab|<1 |ab|<1、|c|<1より、ab+1>a+bを利用して、 (ab)c+1>ab+c・・・となるのですが、 どうしてcがでてくるのか、どうして左辺はかけて右辺は 足すのかわかりません。どうぞよろしくおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 不等式の証明について
コーシー・シュワルツの不等式の特別な場合についての問題です。 (3)の代入後の式整理についてご教示いただければと思います。 解答によると、(3)で(2)の結果の不等式を使い、d=a+b+c/3とおいて代入したときの右辺が a^2+b^2+c^2/3 になるようなのですが、導かれるまでの過程がわかりません。 そのまま代入して計算しますと a^2+b^2+c^2+(a+b+c/3)^2/4 =1/4(9a^2+9b^9c^2+a^+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)/9) =1/4(10(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)/9) となって行き詰まってしまいます。 左辺は代入して整理しすぐ(a+b+c/3)^2と変形できたのですが右辺がわかりません。 ご教示よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 不等式の証明
a>0,b>0,c>0,abc=8のとき、次の不等式を示せ。 a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+b^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}+c^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}>=4/3 考えたこと。 (1)相加相乗平均を使うと、9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)を示せばよいとなるが、 abc=8から、いくらでもa,b,cの値は大きくなるので、うまくいかない。 (2)左辺の第一項a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}をa^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}>=4△/3(△+○+☆)の形にできないか。第二項、第三項も同様にして、3つの式を加えて 左辺>=4(△+○+☆)/3(△+○+☆)=4/3。とできないかと考えたが、挫折。 よろしく、アドバイスお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 不等式
不等式が成り立つ事を示すのですが、 ただし、a,bは実数です。 (1) |a|+|b|≧|a+b| について なぜ、このような問題は (左辺)^2 -(右辺)^2≧0の形にするのですか? 計算をすると (|a|+|b|)^2-(a+b)^2 |a|^2 +2|a||b|+ |b|^2 -((a^2)+2ab+(b^2)) となりますが なぜ、|a|^2=a^2 といえるのですか? もし良かったら、数式などを使っておしえてください 計算の続きで =2(|ab|-ab) まではとけたのですが、 この後の |ab|≧ab より (左辺)^2 -(右辺)^2≧0から成り立つが わかりません。 この、2行がなぜ現れなぜこうなるのかわかりません。 (2) (a^2)+10b^2 +4≧6ab+4b も同じような感じですが これを計算すると 左辺ー右辺から =(a-3b)^2+(b-2)^2≧0 となり (a-3b)^2≧0 , (b-2)^2≧0 ですが なぜ、これらの計算より (a^2)+10b^2 +4≧6ab+4b といえるのがわかりません。
- 締切済み
- 数学・算数
- 不等式の証明
不等式の証明の問題で、 絶対値が1より小さい4つの実数a,b,c,dに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。というものがありました。(1),(2)と2問あって (1)はa+b<1+abの証明でした。 これは(右辺)-(左辺)をして(a-1)(b-1)>0となり、証明できました。 (2)は(1)を利用して示せ。となっており (2)はa+b+c+d<3+abcdの証明でした。 (1)よりa+b<1+abなのでc+d<1+cd 辺々加えてa+b+c+d<2+ab+cd ここまではできたのですが、ここからどうやって右辺を3+abcdに するのかどうしてもわかりません。 答えにはa+b+c+d<2+ab+cd <2+(1+abcd) <3+abcd と書かれていたのですがどうしても <2+ab+cd ↓ <2+(1+abcd) が分かりません。教えてください!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明
a,b,cはabc=1を満たす実数のとき、 (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)=<1 が成り立つことを示せ。 (a-1+ac)(b-1+ab)(c-1+bc)=<1を示すことと同じ。 a=<b=<cで考える。 (1)a>1のとき、abc=1を満たすa,b,cは存在しない。 (2)a=1のとき、b=c=1 以外になく、このとき、不等式は成り立つ。 (3)a<1のとき、(a-1+ac)の正負は、a=1/(1+c)を境に変わる。 ア.a=<1/(1+c)のときは不等式の左辺は負または0になるから、成り立つ。 イ.a>1/(1+c)のとき、相加相乗平均より、 左辺=<{(a+b+c-3+ab+bc+ca)/3}^3 これが、1以下を示せばよいと思いましたが、 a=1/2,b=1,c=2とすると、(a+b+c-3+ab+bc+ca)/3が1より大きくなってしまいます。 どこが間違っているのか、よくないのか。よろしくアドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数