不静定トラス問題について

質問

図に示す問題の解き方が分からないため教えていただけると幸いです。

回答No.2

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まず歪みエネルギーを求めよとあるので、カスティリアノの定理を使えという事なんでしょう。

　棒（トラス）の歪みエネルギーは正式には、添付図の(1)で計算しますが、この範囲の初等材料力学（構造力学）では、棒はバネ定数kを持つ一本のバネと等価です。バネ定数kと断面積A，部材長Lとの関係は(2)の最初の式。これは並列バネ・直列バネの関係がわかってれば、当然でしょう。また軸力Tによる伸びxは、kがわかるので当然後の式。
　結果を1/2×kx^2に代入し、一本の棒部材の歪みエネルギーは式(3)。

　構造系の内力の図から、全体系の歪みエネルギーは(4)になりますが、後のためにT1をT2で書き換えておく。構造系の外力の図から、鉛直力のつり合いで(5)が出る。(5)を(4)に代入し(6)。ちなみに水平力のつり合いと、力のモーメントのつり合いは自明に満たされ、これ以上未知の力を減らせないので、この構造は不静定。
　そして全体系（外力の図）のつり合い方程式から未知の支点反力の数を最小にした状態を、AIさんはたぶん**静定部分の抽出**と呼んでいる。静定基本形と呼ばれる時もある。意味については今の場合で言えば、「もしT2がわかっちゃったら、残りは全体系のつり合い方程式から全部わかるよね！」という意味。

　ところで(6)は、構造外から作用する力（外力の図）によって増加した構造の内部エネルギー。これは外力の仕事に等しいはず。ここで注意すべきは、構造にとっては、支点反力も外力にすぎないという事。外力の図のT1，T2，Pの作用点A，C，D，Bの変位をδ1，δ2，δPとして、それが(7)の右辺（T1はT2で書き換えてある）。
　この関係を自分は「内働＝外働」と習った。外働が「力×変位」で良いのは、初等材料力学では微小変形理論を採用するので、構造の変形過程で外力は一定とみなして良いから。

　未知反力T2を求めるために、(7)の両辺をT2で微分する。結果は(8)。ところがT1，T2は支点A，C，Dの支点反力なので、その変位はδ1＝δ2＝0となり(9)が導かれる。(9)によってT2が、構造形状と弾性係数だけで計算できる事になる。およそ構造計算の目的とは、これ。ここで必要なのは内力の図をふり返り、T1，T2が支点反力なのだと気づけること。T1は(5)から。

　Bの変位δPは、(7)をPで微分しδ1＝δ2＝0を使えば同様に出る（(10)と(11)，T2は既にわかっている）。

　以上のように「内働＝外働」の関係を外力で微分すれば、外力作用点の変位を計算でき、そこに支点条件を追加すれば不静定な未知反力を導けるというのが、「カスティリアノの方法」。
　「内働＝外働」の関係を外力作用点の変位で微分すれば、作用する外力を逆に導ける（あまり使わない）。
　2つ合わせて「カスティリアノの定理」というそうです。

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

不静定トラス問題についての解答方法をお教えします。

不静定トラスとは、構造物が静定でなく、外力だけではなく内部の反力も含めて解を見つける必要があるトラスのことを指します。これが「不静定」というのは、未知数（力の数）が方程式の数（平衡条件の数）よりも多いためです。以下は基本的な解き方の手順です。

### 不静定トラスの解き方

1. **静定か不静定かの判定**:
- 結合数（棒の数）をmとし、節点数をn、支持反力をrとしたとき、以下の式を確認します：
\[ m + r > 2n \]
- これが成り立つ場合、そのトラスは不静定です。

2. **静定部分の抽出**:
- 不静定トラスはまず静定部分（基礎部分）を抽出して解きます。これにより一部分だけでも解けるようにします。

3. **仮題法の活用**:
- 不静定トラスの特定の部材を仮定して一時的に取り除きます。この状態を仮題法（リリース法）と呼びます。
- 仮に外力がどれくらいの強さでその部材にかかるかを仮定して、応力を求めます。

4. **応力と変位の仮定**:
- 部材が引張力か圧縮力かを仮定し、変位がどのように影響するかを考えます。

5. **エネルギー法の使用**:
- カスティリアーノの定理、またはエネルギー法を使うことで、内部エネルギーおよび外部仕事を利用して解を導きます。

6. **互換性条件の適用**:
- 節点の変位互換性を利用して、全体系がつながっていることを確認します。この条件を満たすことで、未知の力と変位を全て解くことができます。

### 実際の問題解決手順

1. **トラスの全体図を把握**:
- 図をよく見て、各部材と節点の配置を確認します。

2. **支点反力を求める**:
- まずは静定部分の支点反力を求めます。

3. **部材に働く力を仮定**:
- 部材にかかる力を仮定し、その仮定によって変位や反力を計算します。

4. **未知の力と変位を方程式で表す**:
- 方程式を立て、節点ごとの変位互換性や部材の応力を考慮します。

5. **連立方程式を解く**:
- 得られた連立方程式を解くことで、未知の変位や力を求めます。

### 注意点

- 図に示された具体的な力の大きさ、配置、部材の長さなどの詳細が必要です。それらが分かれば、上記の手順で解けます。

この説明をもとに、手元にある図と合わせて具体的に進めていくと良いでしょう。もし詳細が分からない場合や全体像が把握できない場合、専門書や信頼できるウェブサイトを参考にするのも良いかもしれません。

うまく解けることを願っております。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による参考回答です。
有識者からの回答も是非お待ちしています。

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