- 締切済み
互いに素である証明(背理法)の解き方
f272の回答
- f272
- ベストアンサー率46% (8064/17245)
> 背理法って、仮定を立てて、その矛盾を証明するんですよね？ ちょっと違う。あることを仮定して矛盾を導くのであって、どこに矛盾があってもかまいません。この問題ではaとbが互いに素であるとき、a+bとabが互いに素ではないと仮定したら、aとbが互いに素でないことが分るので矛盾というわけです。 > あと、証明で、kとlは自然数としていますが、互いに素な自然数としないのはなぜでしょうか？ 互いに素な自然数としてもかまいませんが、そのあとでkとlが互いに素であることを使いませんので、わざわざkとlは互いに素な自然数とする必要はありません。
関連するQ&A
- 互いに素であることの証明問題です
互いに素であることの証明問題です a と b は２つの整数であるとします 今 a と bは互いに素であることが分かっているとして a^n と b が互いに素であることを証明しなさい (nは n＞0 の整数) という問題なのですが 互いに素になることは分かるのですが 証明をせよと言われるとどうしていいか分かりません 数学的帰納法を使えばいいのでしょうか？？ お手数ですがお分かりになられる方 教えていただけませんか お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 無理数であることの証明（背理法）について
√2は無理数であることを証明する問題についてなのですが 背理法を用いて、√2は無理数でないとすると有理数だから √2＝p/q （p、qは互いに素な正の整数）とおける・・・ （中略） pもqも偶数であるから、互いに素であることに反する。 よって√2は有理数ではなく無理数である と解説には記載されています。 ここでわからないのですが、なぜpとqは互いに素な正の整数でないといけないのでしょうか？？ たとえばp＝8、q＝6だとしても、結局のところ4/3となるので有理数ということでOKな気がするのですが。。 数学が苦手なので、アホな質問だとは思うのですが、わかる方がおられましたら教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 背理法についての質問です
p√2が無理数であることを背理法を用いて証明せよ。 という問題です。 √2が無理数であるという証明は、下のようにわかるのですが p√2が無理数であるという証明は同じように解けるのでしょうか？ √2が有理数であると仮定し，これをn/mとおく. （ここに，m，nは整数で互いに素） 両辺を２乗すると 2＝(n/m)^2 2m^2＝n^2 よって，nは2の倍数・・・(1) n＝2kとおく 2m^2＝4k^2 m^2＝2k^2 よって，mは2の倍数・・・(2) (1)(2)はm,nが互いに素という仮定に反し，矛盾． ゆえに，√2は無理数
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数A背理法のもんだいについて
【問題】 √６が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。 という問題の解答について質問です 【解答】 √６＝b/a（a、bは整数）と表せると仮定すると、√６a＝ｂより、両辺を２乗して、 ６aa=bb・・・(1) ★aa,bbにふくまれる素数２の累乗の指数は、いずれも偶数であるから 6aa=2・3・aaに含まれる２の累乗の指数は奇数、bbに含まれる２の累乗の指数は偶数であり、素因数分解の一意性より6aa≠bbとなり、(1)に矛盾★ ゆえに、√６は無理数である ★ではさんだ部分がよくわかりません… あと、別解として √６が有理数だとすれば、√６＝q/p(p,qは互いに素な自然数（整数？））と表せる。 これより、６ｐｐ＝ｑｑ ☆左辺が２で割り切れるので右辺も２で割り切れなければならず、ｑは２で割り切れる。 よって、右辺が４で割り切れるので左辺も４で割り切れなければならず、ｑも４で割り切れる。☆ これは、ｐ、ｑが互いに素であることに矛盾する。 ゆえに、（背理法により、）√６は無理数である も可能でしょうか？ でも☆の部分で、「左辺に６ってあるから２じゃなくて３で割り切れるので～」という風にもなる…？とか考え出したらよくわからなくなっちゃって… ★の部分と☆の部分についてお願いします（> <)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 互いに素である2数の約数について
整数係数のn次多項式の有理解は整数であることを背理法で証明しようとしてます。 ｓとｔが互いに素であるとき t^n=ｓ*ｋ (kはｔの多項式で整数) となったときに 「t^nはｓを約数に持たないので矛盾する」と言って良いんでしょうか?それとも、使うのであれば証明しなければいけないでしょうか？ よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数