隣り合う場合の数

質問

男m人(m≧n-1)、女n(n≧2)人のうち
女n人中k人だけが(2≦k≦n)隣り合うように一列に並ぶときの場合の数f(m,n,k)を教えてください。宜しくお願いいたします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

男m人の並び方はm!とおり。m人の間と両端に(m + 1)個の場所ができる。ここに女が並ぶ。
女n人のうちどのk人を選ぶかはnCkとおり。
このk人をシャッフルするから、女の並び方はnCk・k! = nPkとおり。
女はk人、1人、1人、... 1人と分けられているから、
そのセットの数は(n - k + 1)個。
このセットを男が並ぶことによってできた(m + 1)個の場所のどこかに入れるから、
その入れ方は(m + 1)C(n - k + 1)とおり。
よって求める場合の数f(m,n,k)は
m!・nPk・(m+1)C(n-k+1)とおり。

回答No.3

kiha181-tubasa

№2です
「このガードの配置の仕方は，mP2=m(m-1)=m!/(m-2)!」
を無視してしまいました。

mC(n-k)*(n-k)!=(mP(n-k))=m!/{m-(n-k)}!　……③
にm!/(m-2)!をかけなけれがなりませんでした。ですから③は
(m!/(m-1)!)*mC(n-k)*(n-k)!=(m!/(m-1)!)*m!/{m-(n-k)}!　……③
となって①②とは違う値になります。
後は略します。失礼しました。

回答No.2

kiha181-tubasa

考える手順（「攻略作戦」）は次の通りです。長くなりますが，詳しく説明するので付き合ってください。

まず女n人の中からk人を選んで一列に並べた「団子」を作ります。
この「団子」を男１人と見なして並べ，その男の隙間に残りの女を並べることを考えるのですが，注意することがあります。
この「団子」の隣に女が来るとk人より多くなってしまうので，「団子」の隣に女が来る場合を排除しなければなりません。
そのために，「団子」が右か左の端にある場合と，両端が男である場合とで戦術が異なります。

では計算に移ります。

まず，まず女n人の中からk人を選んで一列に並べた「団子」を作る方法の数は
nCk*(k!)=n!/(n-k)!　（これはnPkでもＯＫ）

「団子」を含めて並べる方法の数は，次の場合分けをして計算します。

（１）「団子」が端にある場合
左端にある場合を説明しながら計算します。
「団子」の左に男m人を並べる方法の数はm!あり，「団子」の右隣の男との隙間には女を入れないので，女が入ることのできる隙間の数は右端を含めてm箇所ある。
だから隙間から(n-k)箇所を選んで残りの女(n-k)人をいれる方法の数は
mC(n-k)*(n-k)!=(mP(n-k))=m!/{m-(n-k)}!　……①
「団子」が右端にある場合も同様に，m!/{m-(n-k)}!　……②

（２）「団子」が端にない場合
隣に女が来ないように「団子」の両側を男でガードします。
このガードの配置の仕方は，mP2=m(m-1)=m!/(m-2)!　（どっちの記法がいいかな？）
この男２人にガードされた「団子」を男を含めて「大団子」と呼ぶことにします。これも男1人とみなし，「大団子」と男(m-2)人の都合男(m-1)人を一列に並べる方法の数は，(m-1)!
この列の両端を含めて女を入れる隙間はm箇所。
このm箇所の隙間から(n-k)箇所を選んで残りの女(n-k)人をいれる方法の数は
mC(n-k)*(n-k)!=(mP(n-k))=m!/{m-(n-k)}!　……③
（結果的に①②③みな同じ結果になりました）

以上から求める場合の数は
n!/(n-k)!*m!/{m-(n-k)}!*3
=3*m!*n!/{(n-k)!*(m-n+k)!}

CやPを使ったままの表記なら
nPk*3*mP(n-k)=3*(nPk)*(mP(n-k))
だと思いますが……。