当たりくじ3本を含む10本のくじを、AとBの2人が

質問

当たりくじ3本を含む10本のくじを、AとBの2人がこの順に1本ずつ引く
ただし、引いたくじはもとに戻さない　この操作がくじがなくなるまで繰り返すとき、Aが3本の当たりくじを引く確率は？　
という問題の解説に ₅C₃ * 3!*7!/10! という式が最初にでてきたのですが、3!*7!/10!が何故掛けられているのかが分かりません

どなたかご教授願います

回答No.6

dedypraja

₅C₃は、10本のくじから3本の当たりくじを選ぶ組み合わせの数を表しています。この3本の当たりくじがAに全部当たる確率は、
(3/10) * (2/9) * (1/8) = 1/120
つまり、Aが最初に当たりくじを引く確率は1/120となります。

次に、残りの7本のうち2本をBが当たりくじとする確率は、
(3/8) * (2/7) = 3/28
このとき、Aが最初に当たりくじを引く確率は1/120であり、Bが2本の当たりくじを引く確率は3/28であるため、Aが3本の当たりくじを引く確率は、
(1/120) * (3/28) = 1/1120
となります。

ここで、最初に出てきた式₅C₃ * 3!*7!/10!は、次のように解釈することができます。まず、10本のくじから3本の当たりくじを選ぶ組み合わせの数は₅C₃通りあります。Aが3本の当たりくじを引くためには、そのうちの1つの組み合わせが実現する必要があります。この1つの組み合わせが実現する確率は1/120であり、その後に残りの7本のくじから2本の当たりくじを選ぶ並べ方は3!通り、残りの5本のはずれくじを選ぶ並べ方は7!通りあります。したがって、Aが3本の当たりくじを引く確率は、
₅C₃ * 3! * 7! / 10!
と表されることができます。ただし、3!*7!/10!の部分は、残りのくじの並べ方の組み合わせの数を表しています。

回答No.5

dedypraja

最初に当たりくじを引く確率は3/10です。Aが当たりくじを引くためには、以下の2つの場合があります。

最初の1本目のくじで当たりくじを引く。
最初の1本目のくじで外れを引き、2本目と3本目のくじで当たりくじを引く。
1の場合、Aが当たりくじを引いた後、残りのくじは当たりくじ2本と外れくじ7本の合計9本になります。したがって、Aが2本目のくじで当たりくじを引く確率は2/9です。同様に、Aが3本目のくじで当たりくじを引く確率は1/8です。よって、1の場合の確率は、(3/10) * (2/9) * (1/8) = 1/120です。

2の場合、Aが外れくじを引く確率は7/10です。残りのくじは当たりくじ2本と外れくじ6本の合計8本になります。したがって、Aが2本目のくじで当たりくじを引く確率は2/8 = 1/4です。Aが3本目のくじで当たりくじを引く確率は1/7です。よって、2の場合の確率は、(7/10) * (1/4) * (1/7) = 1/40です。

1と2の場合を合わせると、Aが3本の当たりくじを引く確率は、1/120 + 1/40 = 1/30 となります。

回答No.4

上野 尚人（@uenotakato）

(3!) * (7!) / (10!) は、10C3 の逆数ですね。
求める確率の式は
5C3 / 10C3
と書き換えるとわかりやすいかと思います。

分母の 10C3 … 当たり3本 + はずれ7本 の並べ方が何通りか
分子の 5C3 … その10C3通りのうち、Aが引く番 (つまり1,3,5,7,9の5回) の中に当たり3本 + はずれ2本 が含まれるような並べ方
※当たりくじ3本どうしに区別をつけない、かつはずれくじ7本どうしに区別をつけない、という考え方です

ーー

もしくは、次のような考え方で立式したのかもしれません。

10本のくじにa , b , c , ... , j の記号を付けて区別しておく。
(a , b , cを当たりくじ、dからjをはずれくじとする)
10! はaからjまでの10本のくじの並べ方 (これを分母とする)
分子にくる 5C3 * 3! * 7! は
・5C3 : Aさんが引く5本のくじ (1本目、3本目、5本目、7本目、9本目) のうちどの3箇所に当たりくじを配置するかの決め方
・3! : 3本の当たりくじの場所だけ決まっているので、さらに「どの場所にa , b , cどのくじを配置するか」の並べ方
・7! : 7本のはずれくじの場所も決まっているので、さらに「どの場所にdからjのくじを配置するか」の並べ方
と解釈できます。この場合でも、求める確率は

( 5C3 * 3! * 7! ) / (10!)
という同じ式になります。

回答No.3

soyandbeefmilk

二項定理の係数だと思いますよ。安易に質問せずに教科書とにらめっこして分からなければ高校の担当先生に質問したほうが正確ですよ。重複組合せではないかな。確かにレベルが高いのは認めますが、重複順列（これは単純です、ただの階乗もの。）と重複組合せは別物だし、大昔は東大理系数学などは難解な条件のもとの重複組合せを使って確率を計算させる出題は頻繁に有ったように思いましたが。高校の先生などに聞きましょう、いい加減なことは回答できません、ただ数学が解ければ合格への手応え感は生まれます。勤勉する人達を応援してますよ。

回答No.2

takochann2

追加。適切な回答をします。

質問の解は、分母が１０！なので10回のくじ引きすべてに順番を含めで選ぶ場合の数です。分子の３！は当たりくじ3本の選び方の総数、７！はハズレくじの選び方の総数、５C2はAの場所5か所のうち3か所の当たりくじの入る場所。

回答No.1

takochann2

どういう考え方をしてそのような式が出たのかは解説を見るのが手っ取り早いですが、私が解いた解と同じになったので正しいことには間違いありません。質問の答えにはなっていませんが、私の考え方を書いておきます。よりスマートだと思います。

　問題を読み替えると、１－１０までの数字のくじで１-3が当たりとすると、5枚を順序関係なく選んだ時1-3を３枚ふくむ確率と解釈できます。したがって解は3C3・7C2／10C5で ₅C₃ * 3!*7!/10! と同じになります。