整数の最小値の存在について

質問

Zを整数全体の集合とします。

aを実数とするときZの部分集合
A={m∈Z | a<m}
は最小値が存在することの証明を教えていただきたいです。

アルキメデスの性質から、ある自然数nが存在してa<nとなる事、つまりAは空でない事はわかってます。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

自然数全体からなる集合（以下Nと書きます）が、通常の順序に関して「整列集合」であることはいいですか？

（Nは整列集合、つまり、「Nの任意の空でない部分集合には、常に最小元が存在する」、ということ）

これが分かっているなら、a≧0ならA⊂Nとなるから自明。a<0から-a<Kなる自然数Kを取って（実数全体はArchimedes的だから、このようなKは存在する）、B= { m∈Z | a+K<m} を考えればよい。

お礼

とても良くわかりました。回答ありがとうございました。