球の重なり合い (排除体積)

質問

直径aの剛体球を考えます。
画像のようにこの剛体球が2つあるときの排除領域の重なった部分の体積v(r)を求めたいのですが(ただしrは球の分子間距離)、教科書の答えπ(2a-r)^2(2a+r)/6とはならずπ(16a^3-12a^2r+r^3)/12と出ました。教科書が間違えてるのか、合っているのならどう計算すればよいのか教えたください、お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

球体の直径がa（つまり半径がa/2）で、重なっている部分の厚さがrと解釈します。
（どこがaでどこがrなのかによって答が異なってきます）

円 x^2 + y^2 = (1/4)a^2 をx軸の周りに一回転させてえられる球体の、「(a - r)/2 ≦ x ≦ a/2」の部分の体積の2倍となるので

2 ∫((a - r)/2→a/2) π ( (1/4)a^2 - x^2) dx
= 2π [ (1/4) a^2 x - (1/3) x^3 ]((a - r)/2→a/2)
= 2π { (1/8) a^3 - (1/24) a^3 } - 2π { (1/4) a^2 ( (a - r)/2 ) - (1/3) ( (a - r)/2 )^3 }
= 2π * (1/12) a^3 - 2π * (1/12) * ( (a - r)/2 ) { 3a^2 - 4 ( (a - r) /2)^2 }
= (1/6) π a^3 - (1/12) π (a - r) { 3a^2 - (a^2 - 2ar + r^2) }
= (1/6) π a^3 - (1/12) π (a - r) (2a^2 + 2ar - r^2 )
= (1/6) π a^3 - (1/12) π (2a^3 - 3ar^2 + r^3)
= (1/12) π (3ar^2 - r^3)
= (1/12) π r^2 (3a - r)

ーー
これが「重なった部分の体積」で、
念のため「重なっていない部分の体積」は
2 * (4/3) π (a/2)^3 - (1/12) π (3ar^2 - r^3)
= (1/3) π a^3 - (1/12) π (3ar^2 - r^3)
= (1/12) π { 4a^3 - (3ar^2 - r^3) }
= (1/12) π (4a^3 - 3ar^2 + r^3)
= (1/4) π (a + r) (4a^2 - 4ar + r^2)
= (1/4) π (a + r) (2a - r)^2