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微分方程式の逆演算子を使っての問題
noname#2380の回答
motusan氏が暗示されている方法に沿って計算を進める結果となってしまいました。とりあえず以下のように計算してみました（ご参考までに）。 まず逆演算子を使うため基礎的な関係式((6)式）を以下のように導出します。 [1/(D-a)]v(x)=y(x) (1) は、 v(x)=(D-a)y(x) (2) 書けます。 常套手段としてy(x)を以下のように置き換えます。 y(x)=exp(a*x)*u(x) (3) (3)式を(2)式に代入します。 (D-a)y(x)=(D-a)(exp(a*x)*u(x)) =Du(x)=v(x) (4) となります。(4)式の微分方程式の解は(5)式で求まります。 u(x)=∫v(x')dx' (5) よって、求める解は(6)式となります。 y(x)=exp(a*x)*∫v(x')dx' (6) ************************************* ************************************ 以上の結果をまとめると、 [1/(D-a)]v(x)=y(x) (1) は、 y(x)=exp(a*x)*∫v(x')dx' (6) となります。 ************************************* ************************************* 次に本題を解きます。 t*t-4*t+7=0 (7) の解をa,bとします。 motusan氏が暗示されているように逆演算子は次のように因数分解できます。 1/(D*D-4*D+7)=1/(D-a)/(D-b) (8) 本題の式を(9)のように表現させていただきます。 1/(D*D-4*D+7) v(x)=y(x) (9) (9)式は y(x)=1/(D-a)/(D-b) v(x) =1/(a-b)*(1/(D-a)-1/(D-b)) v(x) となります。この結果を(10)式のように書き換えます。 (a-b)*y(x)=1/(D-a) v(x)+1/(D-b) v(x) =exp(a*x)*∫v(x')dx'+exp(b*x)*∫v(x')dx' (10) ここで、虚数単位としてiではなくｊで表現させていただきます。 また、計算を簡単(?)に進めるため、オイラーの公式exp(j*x)=cos(x)+j*sin(x) を利用します。 v(x)=exp(3*x)*cos(2*x) =exp(3*x)*0.5*(exp(2*j*x)+exp(-2*j*x)) (11) (11)を(10)に代入すると (a-b)*y(x)=exp(a*x)*∫v(x')dx'+exp(b*x)*∫v(x')dx' =exp(a*x)*∫exp(3*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx' +exp(b*x)*∫exp(3*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx' =exp(a*x)*(C1+0.5*(exp((3+2*j)*x)/(3+2*j)+exp((3-2*j)*x)/(3-2*j)))+ +exp(b*x)*(C2+0.5*(exp((3+2*j)*x)/(3+2*j)+exp((3-2*j)*x)/(3-2*j))) (12) C1,C2は定数（複素数）です。 a=2+(3)^0.5*j b=2-(3)^0.5*j を用いて、オイラーの公式を用いて、三角関数で表現させ、さらに積分定数を整理すると、 ********************************************************* ********************************************************* y(x)=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x) +(3)^0.5/13*exp(5*x)*cos(2*x)*sin((3)^0.5*x) +2/(3)^0.5/13*exp(5*x)*sin(2*x)*sin((3)^0.5*x) (13) (13)の解が求まります。微分方程式を満足するかどうか、第一項は検算しましたが、第2項以下は検算をしていません。 誤記、計算ミスがあったらゴメンなさい。
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