教えてください

質問

全くわかりません。
解き方を教えてください。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

おっと。
＞f(n)の分子は奇数より、b[n] = 1（証明終）
b[n] = 1/2（証明終）です。

回答No.1

asuncion

f(n) = (n^2 + 4n + 1) / 2とする。
(1)
f(1) = (1 + 4 + 1) / 2 = 3, a[1] = 3, b[1] = 0
f(2) = (4 + 8 + 1) / 2 = 13/2, a[2] = 6, b[2] = 1/2
f(3) = (9 + 12 + 1) / 2 = 11, a[3] = 11, b[3] = 0
f(4) = (16 + 16 + 1) / 2 = 33/2, a[4] = 16, b[4] = 1/2
f(5) = (25 + 20 + 1) / 2 = 23, a[5] = 23, b[5] = 0
f(6) = (36 + 24 + 1) / 2 = 61/2, a[6] = 30, b[6] = 1/2
∴b[1] + b[2] + b[3] + b[4] + b[5] + b[6] = 3/2

(2)
(1)の結果から、b[n]はnが奇数のとき0, 偶数のとき1/2と推測する。
以下mod2とする。
n ≡ 1のとき、n^2 ≡ 1^2 = 1, 4n ≡ 4 ≡ 0より、n^2 + 4n + 1 ≡ 2 ≡ 0だから、f(n)の分子は偶数、よってf(n)は整数より、b[n] = 0
n ≡ 0のとき、n^2 ≡ 0^2 = 0, 4n ≡ 0より、n^2 + 4n + 1 ≡ 1だから、f(n)の分子は奇数より、b[n] = 1（証明終）
∴Σ(n=1~30)a[n]は、Σ(n=1~30)f(n)から1/2 * 15 = 15/2を引いた値である。
∴Σ(n=1~30)a[n]
= Σ(n=1~30)f(n) - 15/2
= Σ(n=1~30){(n^2 + 4n + 1) / 2} - 15/2
= (1/2)Σ(n=1~30)(n^2 + 4n + 1) - 15/2
= (1/2){(30)(30+1)(60+1)/6 + 4(30)(30+1)/2 + 30} - 15/2
= (1/2)(5・31・61 + 2・30・31 + 30) - 15/2
= (1/2){31(5・61 + 2・30) + 30} - 15/2
= (1/2){31(305 + 60) + 30} - 15/2
= (1/2)(31・365 + 30) - 15/2
= 11345/2 - 15/2
= 11330/2
= 5665