無限はしご回路の問題についての質問です。

質問

無限はしご回路の問題についての質問です。
なぜ、In=cx^nとおけるのかわかりません。 答えありきでこうなっているのか、こうおける理由があるのか、わかる方教えてください。
また、その後のn→無限大でIn=0になる理由も教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

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回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

電流の強さについての隣接3項間漸化式
I(n+2) - 4 I(n+1) + I(n) = 0
の一般解は
I(n) = c・x^n + d・y^n
（x,yは二次方程式 t^2 - 4t + 1 = 0 の２つの解、すなわち 2 ± √3）（c,dは定数）
となります。
今回の状況では、
x = 2 - √3 , y = 2 + √3
とおいて
n→∞ のとき I(n)→0
という仮定を用いると d = 0 とわかり
I(n) = c・x^n
と表されることになります。

n→∞のとき I(n)→0 という仮定については
「無限遠まで電流は流れないであろう」
というくらいの考えだと思われます。

回答No.2

atm_phantom

本件、質問のジャンルを " 物理学 " としておられますが、これは " 電気工学 " とした方が良いと思われます。

また、" In=cx^n とおく " 理由は 「 漸化式の特性方程式 」という項目を勉強してください。私も数学は専門でないので説明するに適切ではありません。
確かに、等比数列ありきを仮定するので、私も小学校で先生から特別授業で教えてもらったときに、「 どうやって考え付いたかの合理的な説明ができるか。?」と尋ねて、先生から「 少なくとも、等比数列という簡単な仮定により漸化式が解けるのだから、仮定としては正しい仮定であると言わざるを得ない。」と説明されて、なんだかもやもやした理解となった記憶があります。
フィボナッチ数列 F(n)
F(n+2) = F(n+1) + F(n) ( F(0) = 0, F(1) = 1 とする。)
の一般項の数式表現を求めるときにも同様な方法が使用されます。n → ∞ のとき フィボナッチ数列 F(n) そのものは発散しますが、隣合う項の比が F(n+1) / F(n) → ( 1 + √5 ) / 2 = 1.6180339887… ( 1 に対する比は黄金比 ) と漸近する理由も分かりますので、知らなければ勉強することを推奨します。

また、n → ∞ のとき In → 0 となるのは、n が大きくなるほど間に多くの抵抗回路が介在して電流 In 、I'n は小さくならざるを得ません。また、エネルギー保存則からも明らか、 In → 0 とならないとすれば、各区間の電力の無限級数総和は発散してしまいますから、電源から無限大の電力が供給されなければなりません。だから、この回路の現象的な常識に反しています。