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ナポレオンの定理 対称式
辺の長さが対称式のとき、計算せずとも辺の長さが等しくなることが、わからないので質問します。 図のように、3角形ABCの外側に3つの正3角形ABD,BCE,CAFを作り、それらの重心をそれぞれG,H,Iとするとき次の問に答えよ、ただし、3角形ABCの面積をSで、辺BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cで∠BACのをθで表すことにする。 (1)GI^2=AG^2+AI^2-AG*GI*cosθ+√3*AG*GI*sinθを示せ。 (2)AG^2+AI^2-AG*GI*cosθをa,b,cの式で表せ。 (3)√3*AG*GI*sinθをSの式で表せ。 (4)3角形GHIは正3角形であることを示せ。 (1)から(3)まではわかったので、GI^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3となるのは納得できたのですが、(4)の解説でこれはa,b,cについての対称式だからGH^2,HI^2もこの値に等しいと書かれているのに納得がいきません。インターネットで調べたところ、A,B,Cを入れ替えを考えると、GI^2はa,b,cについての対称式だからそれにGH^2,HI^2も等しいらしいのですが、A,B,Cを入れ替えたら、a,b,cが入れ替わって (a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3が変わらないというのがわかりません。どなたかGI^2がa,b,cについての対称式だから、GH^2,HI^2もこの値に等しくなることを解説してくださいお願いします。
- situmonn9876
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- f272
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#4です。 あなたのあげた例ではDE=(1/2)*BCとなって，a，b，cの対象式になっていませんから，対称性を用いた議論は適用できません。 元に戻って GI^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3 であれば，これを導いた考え方，式，文章がありますね。それをそのまま使えば図2でも GI^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3 が成立します。ここでa，b，cは元図での定義とは異なりますが，a，b，cの対象式になっていることから，a，b，cはは元図での定義だと思っても右辺の値は変わりません。 さて図2におけるGI^2と言ううのは元図のGH^2のことです。だから元図のGH^2=図2のGI^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3になるのです。
- muturajcp
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再再訂正です (仮定1) 「 3角形ABC の外側に ABDが正3角形になるようにDをとる BCEが正3角形になるようにEをとる CAFが正3角形になるようにFをとる ABDの重心をGとする BCEの重心をHとする CAFの重心をIとする 3角形ABCの面積をSとする 」 ならば ↓ (結論1) 「 |GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3 |GI|^2=(|BC|^2+|CA|^2+|AB|^2)/6+(2S)/√3 」 となる (仮定1)と(結論1)のAとBを入れ替え,EとFを入れ替え,HとIを入れ替えると (仮定2) 「 3角形BAC の外側に BADが正3角形になるようにDをとる ACFが正3角形になるようにFをとる CBEが正3角形になるようにEをとる BADの重心をGとする ACFの重心をIとする CBEの重心をHとする 3角形BACの面積をSとする 」 ならば ↓ (結論2) 「 |GH|^2=(|AC|^2+|CB|^2+|BA|^2)/6+(2S)/√3 」 となる (仮定1)「ABDが正3角形になるようにDをとる」と (仮定2)「BADが正3角形になるようにDをとる」は同じ (仮定1)「BCEが正3角形になるようにEをとる」と (仮定2)「CBEが正3角形になるようにEをとる」は同じ (仮定1)「CAFが正3角形になるようにFをとる」と (仮定2)「ACFが正3角形になるようにFをとる」は同じ (仮定1)「ABDの重心をGとする」と (仮定2)「BADの重心をGとする」は同じ (仮定1)「BCEの重心をHとする」と (仮定2)「CBEの重心をHとする」は同じ (仮定1)「CAFの重心をIとする」と (仮定2)「ACFの重心をIとする」は同じ (仮定1)「3角形ABCの面積をSとする」と (仮定2)「3角形BACの面積をSとする」は同じ だから (仮定1)と(仮定2)は同値である だから (仮定1) ↓ (仮定2) ↓ (結論2) 「 |GH|^2=(|AC|^2+|CB|^2+|BA|^2)/6+(2S)/√3 」 となる b=|AC| a=|CB| c=|BA| だから |GH|^2=(b^2+a^2+c^2)/6+(2S)/√3 ↓これと|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3から ∴ |GH|^2=|GI|^2
お礼
何度も解説していただき、ありがとうございます。
- f272
- ベストアンサー率46% (8021/17145)
元の図を見てGI^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3となることが納得できるのなら、 図2を見てGH^2=(b^2+a^2+c^2)/6+(2S)/√3 図3を見てHI^2=(c^2+b^2+a^2)/6+(2S)/√3 となることも納得できるでしょう。単に点、辺の名前を付け替えただけです。 これがa,b,cについての対称式だからGH^2,HI^2もこの値に等しいということの内容です。
お礼
図を使った解説ありがとうございます。何時間か考えます。
補足
よろしければお返事ください。 辺や点の名前を入れ替えても、長さが変わらないか簡単な例で考えてみました。(正三角形を外側につくり、その重心をとるかわりに、中点をとると考えました。)頂角A、底辺BCの三角形で、ABの中点D、ACの中点E,とすると中点連結定理よりDE=(1/2)*BC。そこで点Aと点Bを入れかえて、底辺ACの中点Eと辺BAの中点Dの長さが、DE=(1/2)*BCとなるのですが、図形をかくと最初にACだった長さが、点Aと点Bを入れかえるとBCの長さになるので、点の入れ替えでDEの長さが変わってしまうと思うのですが、お返事の考えかたが正しいとすると、点の入れ替えでDEの長さが変わらないと思うのですが、よろしければ自分の考えの間違いや、お返事の考え方との差を教えていただけると幸いです。
- muturajcp
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再訂正です (仮定1) 「 3角形ABC の外側に ABDが正3角形になるようにDをとる BCEが正3角形になるようにEをとる CAFが正3角形になるようにFをとる ABDの重心をGとする BCEの重心をHとする CAFの重心をIとする 3角形ABCの面積をSとする 」 ならば ↓ (結論) 「 |GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3 |GI|^2=(|BC|^2+|CA|^2+|AB|^2)/6+(2S)/√3 」 となる (仮定1)のAとBを入れ替え,EとFを入れ替え,HとIを入れ替えると (仮定2) 「 3角形BAC の外側に BADが正3角形になるようにDをとる ACFが正3角形になるようにFをとる CBEが正3角形になるようにEをとる BADの重心をGとする ACFの重心をIとする CBEの重心をHとする 3角形BACの面積をSとする 」 (仮定1)「ABDが正3角形になるようにDをとる」と (仮定2)「BADが正3角形になるようにDをとる」は同じ (仮定1)「BCEが正3角形になるようにEをとる」と (仮定2)「CBEが正3角形になるようにEをとる」は同じ (仮定1)「CAFが正3角形になるようにFをとる」と (仮定2)「ACFが正3角形になるようにFをとる」は同じ (仮定1)「ABDの重心をGとする」と (仮定2)「BADの重心をGとする」は同じ (仮定1)「BCEの重心をHとする」と (仮定2)「CBEの重心をHとする」は同じ (仮定1)「CAFの重心をIとする」と (仮定2)「ACFの重心をIとする」は同じ (仮定1)「3角形ABCの面積をSとする」と (仮定2)「3角形BACの面積をSとする」は同じ だから (仮定1)と(仮定2)は同値である だから AとBを入れ替え,EとFを入れ替え,HとIを入れ替えても (仮定)は変わらないのだから (結論)の AとBを入れ替え,EとFを入れ替え,HとIを入れ替えても 同じだから |GI|^2=(|BC|^2+|CA|^2+|AB|^2)/6+(2S)/√3 ↓AとBを入れ替え,HとIを入れ替えると |GH|^2=(|AC|^2+|CB|^2+|BA|^2)/6+(2S)/√3 b=|AC| a=|CB| c=|BA| だから |GH|^2=(b^2+a^2+c^2)/6+(2S)/√3 ↓これと|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3から ∴ |GH|^2=|GI|^2
- muturajcp
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訂正です |GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3 G=(ABD重心) D=(ABDが正3角形となるD) I=(CAF重心) F=(CAFが正3角形となるF) H=(CBE重心) E=(CBEが正3角形となるE) a=|BC| b=|CA| c=|AB| だから |(ABD重心)(CAF重心)|^2=(|BC|^2+|CA|^2+|AB|^2)/6+(2S)/√3 ↓AとBを入れ替えるとFとEが入れ替わるから |(BAD重心)(CBE重心)|^2=(|AC|^2+|CB|^2+|BA|^2)/6+(2S)/√3 G=(BAD重心) H=(CBE重心) b=|AC| a=|CB| c=|BA| だから |GH|^2=(b^2+a^2+c^2)/6+(2S)/√3 ↓これと|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3から ∴ |GH|^2=|GI|^2
補足
よろしければお返事ください。 AとBを入れ替えるとFとEが入れ替わるから。と解説にありますが、 これは図形を変えないようにする(添付した図が、DCを軸として回転したようになる)ためですか？
- muturajcp
- ベストアンサー率78% (505/644)
|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3 G=(ABD重心) I=(CAF重心) a=|BC| b=|CA| c=|AB| だから |(ABD重心)(CAF重心)|^2=(|BC|^2+|CA|^2+|AB|^2)/6+(2S)/√3 ↓AとBを入れ替えると |(BAD重心)(CBF重心)|^2=(|AC|^2+|CB|^2+|BA|^2)/6+(2S)/√3 G=(BAD重心) H=(CBF重心) b=|AC| a=|CB| c=|BA| だから |GH|^2=(b^2+a^2+c^2)/6+(2S)/√3 ↓これと|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3から ∴ |GH|^2=|GI|^2
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