中国剰余定理について。

質問

以下の画像についての証明をご教授願いたいです。すみません。n1とn2は互いに素ではありません。

回答No.21

f272 · ベストアンサー

https://okwave.jp/qa/q9823391.html#answers
の#24の補足でも同じことを聞いているよね。同じことを繰り返さないでください。

回答No.20

f272

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12043864.html
に書いてあることを読んだけど，あなたが言い出したことではないのですね。だったらあなたが説明できないのはわかります。くだらないことに関わらないように。

補足

念のため確認ですが、ia とjaをbで割った余りが等しいと仮定する。と言う事をあなたは、言いたかったのですね。合っていますでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。念のためです。

回答No.19

f272

> 1以上30以下というのは、具体的に数字を当てはめた例です。

ずっと「まずa，2a，3a，...，(b-1)aを考えます」ということを前提にしていることを言った上でaとbは何を想定しているのかを聞きました。そうするとあなたは「a ＝3と、b＝7の場合です。」と言いつつも1以上30以下なんてことを言う。具体的にどんな数字を当てはめたら1以上30以下というのが出てくるんだ？

> 最初の疑問で、bで割った余りが、なぜ、ia とja になるのか？と言っています。

それ以前の話をスルーしないように。それから上記のようなことはない，とはっきり言ったよね。

補足

以下のURLを見ていただけないでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12043864.html

回答No.18

f272

全然話がかみ合っていません。
なぜ「1以上の整数で30以下の整数」こんなことを言い出したのか？

補足

最初の疑問で、bで割った余りが、なぜ、ia とja になるのか？と言っています。
これについての説明です。で、 1以上30以下というのは、具体的に数字を当てはめた例です。ご教授願いたいです。すみません。

回答No.17

f272

わたし「まずa，2a，3a，...，(b-1)aを考えます」
あなた「1以上の整数で30以下の整数」
あなた「a ＝3と、b＝7の場合です。」
全然話がかみ合っていません。

補足

bで割った余りが、ia やja になるのか？

数学的な理解の前に、文章の理解だと思います。
つまり、
条件
(1)　「aとb が互いに素」であるならば，
(2)　 bで割った余りが同じものがあれば
(3)　 iaとja(ただしi<j)として，0<j-i<bかつ(j-i)aはbの倍数
(4)　但し(3)は、aとb が互いに素であることと矛盾
(5)　a，2a，3a，...，(b-1)aをbで割った余りはすべて異なる
(6)　bで割った余りが1であるものが存在

これは、何かを具体的に考えましょう。

例えば　1以上の整数で30以下の整数の内
まず、互いに素の数　例えばa=3 b=7
a 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
bで割ると　　
　　　　　 　9は余り2
　　　　　　12は余り5
　　　　　　15は余り1
　　　　　　18は余り4
　　　　　　21は余り0
　　　　　　24　　　3
　　　　　　27　　　6
この条件に合うのは、a=3 b=7 5a＝（１５）の時　ｂで割ると余り１
上記、ｂで割る数は、全て、a の倍数　
と言うことです。ご教授願いたいです。すみません。

回答No.16

f272

何度も「まずa，2a，3a，...，(b-1)aを考えます」と言いましたよね。
aとbがいくつの場合を想定しているのですか？
真面目に考えてください。

補足

a ＝3と、b＝7の場合です。
この質問にも答えていただけないでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。
まず、ここにb-1個の整数 a,2a,3a,...,(b-1)a があるわけです。この中にbで割った余りが同じになる数があるとし、その数はそれぞれia,ja(i<j)と表せると仮定します。つまり、 a,2a,3a,...,ia,...,ja,....,(b-1)a となっているということです。つまり、iとjはどちらもaの係数としてある1,2,3,...の延長線上にある数であり、それは即ち0より大きく、bより小さな自然数であるということです。
これは、合っていますでしょうか？

回答No.15

f272

> bで割った余りが、ia やja になるのか？

そんなことはどこにも書いていません。
「数学的な理解の前に、文章の理解だと思います」というのは正しくて，あなたが何も理解していないだけです。

> 例えば　1以上の整数で30以下の整数の内
> まず、互いに素の数　例えばa=3 b=7

どこから「1以上の整数で30以下の整数」が出てきたのですか？「まずa，2a，3a，...，(b-1)aを考えます」と言ったはずです。
これ以下は考える価値なし。

補足

1以上30以下はあくまでも例です。すみません。ご教授願いたいです。

回答No.14

f272

https://okwave.jp/qa/q9823391.html
でも同じようなことを聞いているが，どういうつもりですか？意味のないことはやめた方が良い。

補足

bで割った余りが、ia やja になるのか？

数学的な理解の前に、文章の理解だと思います。
つまり、
条件
(1)　「aとb が互いに素」であるならば，
(2)　 bで割った余りが同じものがあれば
(3)　 iaとja(ただしi<j)として，0<j-i<bかつ(j-i)aはbの倍数
(4)　但し(3)は、aとb が互いに素であることと矛盾
(5)　a，2a，3a，...，(b-1)aをbで割った余りはすべて異なる
(6)　bで割った余りが1であるものが存在

これは、何かを具体的に考えましょう。

例えば　1以上の整数で30以下の整数の内
まず、互いに素の数　例えばa=3 b=7
a 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
bで割ると　　
　　　　　 　9は余り2
　　　　　　12は余り5
　　　　　　15は余り1
　　　　　　18は余り4
　　　　　　21は余り0
　　　　　　24　　　3
　　　　　　27　　　6
この条件に合うのは、a=3 b=7 5a＝（１５）の時　ｂで割ると余り１
上記、ｂで割る数は、全て、a の倍数　
∵　j や i は　a がついているから　＃１の(4)のｍｎと同じ。
これは、あなたのものを具体例で表したものです。ご教授願いたいです。すみません。

回答No.13

f272

書いてあることをちゃんと読んでいないのですか？
「これらをbで割った余りが同じものがあればそれをiaとja(ただしi<j)として」というときにi=jの場合を考えてどうするのですか？iとjが同じであればbで割った余りが同じなのだから考える価値がありません。i<jの場合だけが検討する価値があるのです。

補足

ia とja の余りを同じと考えるということは、余りが、もし、a と2a でも同じと考えるということですね？あくまでも例ですが。ご教授願いたいです。すみません。

回答No.12

f272

あなたが言及した
https://mathtrain.jp/remainder
にx'のことが書いてありますよ。それすら読んでいないのですか？
x′=n1X+a1=a2－n2Y
です。

補足

逆に「aとb が互いに素」であるならば，まずa，2a，3a，...，(b-1)aを考えます。これらをbで割った余りが同じものがあればそれをiaとja(ただしi<j)として，0<j-i<bかつ(j-i)aはbの倍数になります。これはaとb が互いに素であることと矛盾しますから，a，2a，3a，...，(b-1)aをbで割った余りはすべて異なることが分かります。そうすると必ずこれらの中にbで割った余りが1であるものが存在します。それをkaとすればka=lb+1です。つまりax+by=1は整数解(x=k,y=-l)を持つことが分かります。
で、質問なのですが、(ただしi ＜j)ではなく、なぜ、（ただしi≦j)にしなかったのでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。

回答No.11

f272

だから既に書いたように
a1≡a2(mod gcd(n1,n2))
であれば
x≡a1(mod n1)かつx≡a2(mod n2)を同時に満足するxが0≦x<lcm(n1,n2)の範囲にただ一つだけ存在する
と何度も何度も言っています。
例えば，x≡1 (mod 3)，x≡4 (mod 9)であればx=4がある。
書いてあることの意味すら分からないようなら，まずそれぞれの用語の意味を調べてください。

補足

すみません。あなたのコメント
x'は連立合同式を満たすのですから，x'をlcm(n1,n2)で割った余りであるxも連立合同式を満たします。またlcm(n1,n2)で割った余りなのだから，xが0以上 lcm(n1,n2)であることとも当然です。
のx｀とはなんでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。