フェルマーの最終定理 N=3の場合

質問

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この証明の後半のほうで

（これより、2t, t+3, t-3は互いに素であるから）

とありますが、なぜこれら３つの数が互いに素といえるのかが

分かりません。

（これより）、とは具体的にどの部分をさして、なぜ３つの数が互いに素になるのかの

詳しい解説をよろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

t+3u,t-3uの公約数は(t+3u)+(t-3u)=2t,(t+3u)-(t-3u)=6u の約数となります。
ここで、t:偶数,u：奇数　であることからt+3u,t-3uは両方とも奇数となります。ですので公約数は当然奇数でなければならない。
同様に,t:3の倍数でない　の条件からt+3u,3-3uは3の倍数ではないため公約数は3を約数としては持ちません。

つまり、2t,6uの公約数は少なくとも2,3の倍数ではないことがわかります。
もし、この二つが互いに素でないとするとt,uが互いに素でないことが必要となります。
tとuが共通の素因数p(>3)を持つとするとx,yがpを素因数として持つことになり(x,yをa,bで表した式にa,bをt,uで表した式を代入してみるとわかります)xとyが互いに素であることに矛盾します。

同様に2tとt+3u,t-3uが互いに素であることも示せます。

お礼

大変詳しい回答ありがとうございました