環 イデアル問題

質問

Aを環、I,J,KをAのイデアルとする。I ⊆J ∪ Kならば、I ⊆JまたはI ⊆Kが成り立つことをどう示しますか。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

I ⊆J も I ⊆K も成立しないと仮定する。

従って、a ∈ I \ J, b ∈ I \ K なる a, b が取れる。
I ⊆J ∪ K 故、a∈K, b∈J となる。

さて、a+b∈I ⊆J ∪ K 故、a+b∈J、もしくは a+b∈ K でなくてはいけないが、 a + b ∈ J なら a = (a+b) - b ∈ J、a + b ∈ K なら b = (a+b) - a ∈ K となり、いずれの場合も最初の仮定に反する。

お礼

なるほど！ありがとうございます！参考にさせて頂きます＜(_ _)＞