関数解析

質問

関数解析

L^2(R)で0に収束するけど、L^1(R)では収束しない関数列をあげて頂きたいです

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

自然数nに対して
関数
f_n:R→R
を
|x|≦n^3の時　f_n(x)=1/n^2
|x|>n^3 の時　f_n(x)=0
と定義すると

lim_{n→∞}∫_{-∞～∞}(|f_n(x)|^2)dx
=lim_{n→∞}∫_{-n^3～n^3}(1/n^4)dx
=lim_{n→∞}2n^3/n^4
=lim_{n→∞}2/n
=0
だから
{f_n}はL^2(R)で0に収束する

lim_{n→∞}∫_{-∞～∞}|f_n(x)|dx
=lim_{n→∞}∫_{-n^3～n^3}(1/n^2)dx
=lim_{n→∞}2n^3/n^2
=lim_{n→∞}2n
=∞
だから
{f_n}はL^1(R)で∞に発散する