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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:〇〇回内に1/〇〇が当たる時の平均試行回数)

〇〇回内に1/〇〇が当たる時の平均試行回数とその理由

このQ&Aのポイント
  • 試行回数100回の場合、当選確率が1/100の場合、平均試行回数は約42回です。
  • しかし、試行回数100回以内に当たった場合のみの試行回数を取り出すと、平均試行回数は約42回となります。
  • 試行回数と当選確率の関係は規則的ではなく、確率が下がるほど平均試行回数が増加していく傾向があります。

質問者が選んだベストアンサー

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回答No.1

当選確率をp=1/100,試行回数をn=100とすれば (k-1)回目までは当選せず,k回目に当選する確率はp(1-p)^(k-1) これをk=1からk=nまで足すと,n回以内にに当選する確率S=Σ[k=1 to n]p(1-p)^(k-1)がでる。 S=Σ[k=1 to n]p(1-p)^(k-1) S+p(1-p)^n =Σ[k=1 to n+1]p(1-p)^(k-1) =p+Σ[k=2 to n+1]p(1-p)^(k-1) =p+(1-p)Σ[k=1 to n]p(1-p)^(k-1) =p+(1-p)S pS=p-p(1-p)^n S=1-(1-p)^n したがって試行回数n回以内に当たったときのみの試行回数を取り出したときの平均試行回数TはT=Σ[k=1 to n]kp(1-p)^(k-1)*(1/S)となる。 ST=Σ[k=1 to n]kp(1-p)^(k-1) (1-p)ST =Σkp(1-p)^k =Σ[k=2 to n+1](k-1)p(1-p)^(k-1) =Σ[k=1 to n+1](k-1)p(1-p)^(k-1) =Σ[k=1 to n](k-1)p(1-p)^(k-1)+np(1-p)^n =ST-S+np(1-p)^n pST=S-np(1-p)^n pST=1-(1-p)^n-np(1-p)^n pST=1-(1-p)^n-n(1-p)^n+n(1-p)(1-p)^n T=(1-(n+1)*(1-p)^n+n(1-p)^(n+1))/(pS)

ayb_jp
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。 Excelで試算したところ以下のようになりましたので実測値と比べても教えて頂いた式で間違いないと思います。 1/100 → 42.26324699 1/90 → 41.37799952 1/80 → 40.28514079 1/70 → 38.90494002 1/60 → 37.11344048 1/50 → 34.71033596 1/10000 → 50.41667096

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