３種類１１枚のコインの合計金額は？

質問

先ほどの質問、間違っていました。正しくは

10円玉、50円玉、100円玉を合わせて11枚選んだときの合計金額は何通りあるか？
但し、どのコインも最低1枚は含むものとする。

答えは54通りのようなのですが、どうしても解けません。ご教授願います。

前回質問URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=97394

回答No.2

gator · ベストアンサー

まず、合計11枚になる組み合わせを数えます。それには、
○ ○ ○l○l○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
11枚の○の間に2ヶ所しきりを入れます。左から、10円、50円、100円玉の数と
します。上の例は10円3枚、50円1枚、100円7枚です。このような組み合わせは
10ヶ所の「間」から2ヶ所しきりを選んで入れるので、10C2=10*9/1*2=45通り
となります。
問題は合計金額は何通り？です。複数の組み合わせで同じ金額になるかどうか
念のため調べておきます。個数をn,m,(11-n-m)とすると金額は10n+50m+100*( 11-n-m)
=1100-90n-50mです。もう1通りあったとして1100-90a-50bとし、それらが等しい
ので、90n+50m=90a+50bつまり9(n-a)=5(m-b)です。これの最小の解は
n-a=5,m-b=9です。ところが、どのコインも最低1枚は含むのであるコインの枚数
の最高は9枚です。つまり、m-b=9を満たす解は無いということです。ということ
で、上の45通りは合計金額の重複は無しということになります。
よって答えは45通り。

お礼

ありがとうございます。

すっきりしました。「２ヶ所しきりを入れる」という発想ができませんでした。
合計金額についての考察も完璧ですね。

実は(間違いばかりで本当に申し訳ありませんが）、正しい質問は、
「10円玉、50円玉、100円玉を合わせて12枚選んだときの合計
金額は何通りあるか？但し、どのコインも最低1枚は含むものとする。」
でした。

gator先生の回答を参考にして自分なりに考えてみました。

合計12枚になる組み合わせは、11Ｃ2＝55通り
個数をn,m,(12-n-m)とすると金額は10n+50m+100*(12-n-m)=1200-90n-50m
もう1通りあるとして1200-90a-50bなので90n+50m=90a+50bつまり9(n-a)=5(b-m)
これの最小の解はn-a=5,b-m=9
コイン枚数は最高10枚なのでb=10,m=1のみが該当し、それに対応するのは
a=1,n=6のみである。その場合の合計金額はいずれも610円になる。
よって、答は55－1＝54通り

これで良いんですよね。
確認していただけるとありがたいのですが。

回答No.3

gator

再びgatorです。「先ほどの質問」があっているのではないでしょうか?
97394に回答しました。ご覧下さい。

お礼

本当に何から何までありがとうございました。

回答No.1

noname#2407

3種類のコインを最低1枚は入れて11枚にする並べ方は9通り。
（1-1-9、1-2-8、・・・1-9-1）

この9通りに、それぞれ3種類のコインを組み合わせていく方法が6通りあるので
（3X2X1）、9X6=54(通り)。

違うかなぁ・・・？

お礼

早速のご回答、ありがとうございます。

＞（1-1-9、1-2-8、・・・1-9-1）

2-3-6 というような組み合わせもあるのでは？

補足

お礼の後で書いてます。

すみません。答えの「54通り」は違っているかもしれません。