２次関数、三角比の問題を教えてください。

質問

わからないことがあります。(^2は二乗)
【１】mx^2＋(１－５m)x＋４m＝0の２つの実数解が１より大であるような定数mの範囲を求めよ。
　という問題で、解答が
まず、実数条件からm≦１/９、１≦m　・・・(1)
次に、実数解をα、βとすると、
　α＞１、β＞１⇔α－１＞０、β－１＞０
　∴(α－１)＋(β－１)＞０、(α－１)(β－１)＞０
解と係数の関係を用いて変形すると
　(α－１)＋(β－１)＝(３m－１)/m＞０(両辺にm^2をかけて計算するんだよ！）∴m＜０、１/３＜m　・・・(2)
　　　　　　　(以下略)
とあるのですが、私はmをかけて計算したので、(2)の部分では１/３＜mしか出ませんでしたが、結局その後の計算でm＜０も出たので答えは合いました。なのでmでも良いのかと思ったのですが、似たような他の問題を解いたら二乗をかけないと答えが間違ってしまう問題がありました。、「両辺にm^2をかけて計算するんだよ！」と書いてある場所にはなぜmではなくてmの二乗をかけないといけないのでしょうか？

【２】(cosθ＋sinθ)/(cosθ－sinθ)＝√２－１のとき、tanθ、cos^2θの値を求めよ。
　という問題で、解答が
与式から
　cosθ＋sinθ＝(√２－１)cosθ－(√２－１)sinθ
　∴√２sinθ＝(√２－２)cosθ
　∴tanθ＝√２(１－√２)/√２＝１－√２
　　　　　　　(以下略)
と書いてあるのですが、√２sinθ＝(√２－２)cosθからどのように計算してtanθ＝√２(１－√２)/√２＝１－√２になるのでしょうか？私はtanθ＝sinθ/cosθを使ってやろうとしたのですが、よくわからなくて答えを見たのですが答えを見てもいまいち理解出来ません。tanθ＝sinθ/cosθを使っているのだと思うのですが、sinθの係数が分母に、cosθの係数が分子になっているのはなぜでしょうか？

どちらか一方でも良いのでどなたかお願いします！

回答No.2

arukamun · ベストアンサー

【１】
ｍは実数であるというだけで、正か負かも解らない数です。
不等号の式の性質から、両辺に負の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが変わります。
ｍ＾２はｍが実数であれば正なので、両辺に掛けても問題ありませんね。

【２】
√２sinθ＝(√２－２)cosθ
両辺をcosθで割ります。
√２sinθ／cosθ＝(√２－２)
両辺を√２で割ります。
sinθ／cosθ＝(√２－２)／√２
ここまで書けば解りますか？

お礼

早速のお答えありがとうございます。
【１】も【２】もすごくわかりやすくて大変助かりました。本当にどうもありがとうございました！