ポインティングベクトルを発生する装置は飛行しますか？

質問

リング状の磁性体の一部を切り取り、Ｎ極とＳ極が対向する形状にした電磁石を形成し、設置します。そして、このＮ極とＳ極を結ぶ直線に直行する直線上にプラス極とマイナス極の極板を対向させるように配置して、コンデンサーとします。こうして、Ｎ極，Ｓ極，プラス極，マイナス極の４つで辺を構成した正方形をつくります。この状態で、前記の電磁石とコンデンサに高周波電圧を印可します。そうすると、電磁石の磁極間には高周波の交流磁場が生成され、コンデンサの電極間には高周波の交流電場が生成されます。適切な電子回路を用いることで、この交流磁場と交流電場の位相を完全に一致させることができます。ここで、交流電場と交流磁場の振動面は直行します。これは、電磁石の磁極と、コンデンサの電極の相対位置関係のおかげです。
そうすると、電場と磁場の外積ベクトルの方向に向かうポインティングベクトルは、常に空間内で一定の方向を向きます。そうすると、ポインティングベクトルは運動量ベクトルですので、運動量保存の法則からして、「電磁石＋コンデンサ＋制御回路＋電源」からなる装置は、どこかに飛行していかないでしょうか？

回答No.4

TCM · ベストアンサー

#3の式(2)でポインティング・ベクトルを求める部分の説明が不十分で、わかりにくかったかもしれません。再度導出します。
　　dU/dt＝∫{∂D/∂t･E＋∂B/∂t･H}dv
　　　　　＝∫{(rotH-J)･E－rotE･H}dv
　　　　　＝∫－J･Edv＋∫{rotH･E－rotE･H}dv
　　　　　＝－∫J･Edv－∫{H･rotE－E･rotH}dv
　　　　　＝－∫σE^2dv－∫div(E×H)dv
　　　　　＝－∫σE^2dv－∫(E×H)･ｎdS　　　　　　　(1)
つまり、div(E×H)はもともとベクトル解析の公式
　　div(E×H)＝H･rotE－E･rotH　　　　　　　　　　　　(2)
を利用して変形したものなのです。よって静磁界、静電界の場合、
　　δH/δt＝δE/δt＝０　　　　　　　　　　　　　　(3)
ですから、
　　rotE＝rotH＝０　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)
であり、
　　∫{H･rotE－E･rotH}dv＝∫div(E×H)dv＝∫(E×H)･ｎdS＝０　　(5)
となってエネルギの流れはないのです。これが「系の電磁界エネルギに時間変化があること」という制限を加えた理由です。E×Hという外積の形になって新たな物理的意味が生じたのですが、逆に本来の物理的背景が見えにくくなってしまったという憾みがありますね。これで、#3の補足の１，２，３の回答になっておりますでしょうか？

　今、任意のベクトル関数Fを考え、ポインティング・ベクトルの発散の式のSをS＋rotFに置き換えても、div(rotF)＝０なので、
　　∫div(S＋rotF)dv
　＝∫divSdv　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)
となります。これは#3の回答の式(2)も満たしますし、エネルギ保存則も満たします。この回転の自由度rotFをきちんと決定できないところに、「ポインティング・ベクトルがエネルギ流の面密度ベクトルである」という解釈を積極的に支持することができない理由があるのです。それでもポインティング・ベクトルがエネルギ流に関わる量であるとすることによって、電磁現象の理解に役立つことがあるので、一般的には「エネルギ流の面密度ベクトル」と解釈しています。ただし、その場合には上記物理的背景や、「閉曲面で積分しなければ意味のないベクトルである」ことに十分注意して取り扱う必要があります。

　なお#3の補足の４については、一様場で∫div(E×H)dv＝∫(E×H)･ｎdSをとると零ですから、残念ながら運動量ベクトルを与えることはないと思います。

補足

div(E×H)=0（すなわち、ポインティングベクトルの湧き出しがゼロ）という事と、E×H=0とは、同じ事でしょうか？

div(E×H)=0でもエネルギー流が存在しているという状況はあるのではないでしょうか？

回答No.8

TCM

なるほど、これは失念しておりました。電流も電磁エネルギを伝送する媒体となりますね。題意より電力を空間伝送することしか念頭においておりませんでした。おわびして訂正いたします。
　ところでポインティング・ベクトルの立場に立つと、電流は電力伝送を担う実体として認められません。あくまで導体外部の電磁界が電力伝送を担っており、電流は導体表面と導体外部空間の境界条件として存在するにすぎないのです。これも私が、全面的にポインティング・ベクトルを信用できない原因のひとつです。
　ご質問の装置に関する検討は、#7の回答で言い尽くしています。#6の回答でも申し上げましたとおり、「単に数式を追うだけではなく、その背後の物理現象」の検討が重要かと思います。

回答No.7

TCM

そうですね、本来の質問の内容を考えないといけませんね。結論から言うと、やはりこれも電力流は生じないものと考えます。理由は以下のとおりです。
　電力を運ぶのは伝播する電磁波です。そして電磁波は「電界が磁界を誘起し、同時に磁界が電界を誘起する」物理的実体です。これには異論はないかと思います。
　しかし、ご質問の装置では電磁石間の磁束密度Ｂとコンデンサ間の電束密度Ｄが確かに同期してはいますが、お互いが誘起しあっているわけではありません。つまり、電磁波としての要件を満たしていないのです。たとえポインティング・ベクトルＳがある値を持ったとしても、それは静磁界・静電界の場合と同様に、物理的実体としての電磁波を構成していないと考えるわけです。
　というわけで電力流は生じないものと考えます。ただし、問題の装置が交流電源を利用して電界や磁界を発生させていますので、そのためにいくぶんかの電磁波を発生させていると思います。しかし、これはご質問で想定されている電磁波ではありませんし、一方向のみに放射されているわけでもありません。
　いかがでしょう。

お礼

ありがとうございます。
電磁波でなければ電磁エネルギー流が生じないとのことですが、乾電池につないだ豆電球のフィラメントで消費されるエネルギーは、乾電池の中から電磁エネルギーとして、フィラメントに流れたのだと思います。この場合、乾電池から豆電球の方向に向かって電磁波が飛んでいっているとは思えません。乾電池は直流電源だからです。したがって、電磁波でなくても電磁エネルギー流は生じると思います。
私の最初の質問で説明しましたコンデンサの２つの極板と、電磁石の２つの極によって囲まれる立方体領域での電場と磁場の方程式は、次のようになると思います。ただし、コンデンサの２つの電極の中心間を結ぶ軸をＸ軸とし、電磁石の２つの極の中心間を結ぶ軸をＹ軸とし、Ｘ軸およびＹ軸に直交する軸をＺ軸とします。

(Ex , Ey , Ez) = (E0×sin(ω×t) , 0 , 0)
(Hx , Hy , Hz) = (0 , H0×sin(ω×t) , 0)

そうして、前記の立法体内では電場と磁場は空間的に一様であるとします。
そうすると、この立方体内でのポインティングベクトルは、次のようになります。
(Px , Py , Pz) = (Ey×Hz －　Ez×Hy , Ez×Hx － Ex×Hz , Ex×Hy － Ey×Hx)
= (0 , 0 , E0×H0×sin(w×t) ×sin(w×t))

この方程式で見る限り、前記の立法体内では、常にポインティングベクトルはＺ軸のプラス方向に向かいます。少なくとも、この立法体内では電磁エネルギーがＺ軸のプラス方向に流れていると考えられます。
いかがでしょうか？

回答No.6

TCM

> もしかして、上記の「適当な面Ｓ」は閉じた面では
> なく、開いた面なのでしょうか？そうであれば、理
> 解できます。
　「閉曲面で積分しなければ意味のないベクトルである」とか、ずいぶん厳しいことを書き、また説明も不十分だったように思います。あそこで言いたかったのは「電磁現象の理解に役立つことがあるので、一般的には電力流の面密度ベクトルと解釈しているが、その場合には物理的背景や閉曲面で積分しなければ意味のないベクトルであることに十分注意して取り扱わなければならない」という指針でポインティング・ベクトルをお使いくださいということです。実際、－∫(E×H)･ｎdSが系のエネルギの増減を表すのは間違いないのですが、何度か申しましたようにE×Hが電力流の面密度ベクトルを表す証拠はないのです。
　さて、今回の「適当な面Ｓ」はおっしゃるとおり開いた面です。私が、ポインティング・ベクトルをどのように利用しているかというと、「特異な問題は例外として除外し、ポインティング・ベクトルが電力流の面密度を表すものと仮定して」利用しています。どうも煮え切らないと思われるかもしれませんが、これが現状ですのでご了承ください。そういうわけで、平面電磁波の場合については、確かに空間のある面を切り出して－∫(E×H)･ｎdSからエネルギの流れを求めています。それが電磁現象の理解に役立ちますから。
　でも、エネルギというものは本来系全体で定義されるものですから、この部分のエネルギ密度がどれくらいとか、ある開曲面を通るエネルギの量がこれくらいという捉え方はおかしいのだ！ということをきちんと意識しながら利用しています。静電界・静磁界の場合、E×Hがある値を持つようにできますが、それをどのように解釈するかが問題なのです。その際、単に数式を追うだけではなく、その背後の物理現象も考慮に入れながら考えていただけると解決の方向に向かうのかなという気がいたします。いかがでしょう。

お礼

TCMさん、ありがとうございました。物理的な意味からすると、div(E×H)がゼロにならない場合に限って、電力流があると考えるべきであるという事だと理解しました。その場合、静磁界と静電界ではdiv(E×H)=0となるので、電力流はないということだと思います。しかし、私の最初の質問にあるように交流電源で同位相で駆動されたコンデンサと電磁石によって発生するE,Hはそれぞれ時間的に変動するものですので、静電界、静磁界にはなりません。また、EXHは常に一定方向を向きます。さらに、ダイポールアンテナとは異なり、四方に電磁波を放射するものにはならないと思います。コンデンサの２つの極板と電磁石の２つの極によって形成される４角形領域において、閉じた空間を想定し、その空間内でのdiv(E×H)の体積分をすると、ゼロにはならないと思います。すなわち、ある特定の方向に向かう電力流が発生していると考えます。いかがでしょうか？

回答No.5

TCM

またまたTCM参上いたしました。お騒がせしております。

> div(E×H)=0（すなわち、ポインティング・ベクトル
> の湧き出しがゼロ）という事と、E×H=0とは、同じ
> 事でしょうか
　そうですね、同じことではありません。E×H=0ならば確実に∫div(E×H)dv=0ですが、E×H≠0の場合は零のこともあるし、零でないこともあります。静磁界、静電界の例は、E×H≠0なのに零になる一例です。下記にもう一例あげ
ておきます。

> div(E×H)=0でもエネルギー流が存在しているとい
> う状況はあるのではないでしょうか？
　ございます。一番わかりやすい例として、無限遠からやってくる平面電磁波をあげることができます。この例では適当な体積Ｖをとると∫div(E×H)dv=0となりますが、間違いなくエネルギの流れがあります。この平面電磁波について適当な面Ｓをとり、∫(E×H)･ｎdSを計算するとちゃんとエネルギ流の面密度を求めることができます。

　ベクトル解析に現れる様々な式は、物理と数学の驚くほどのマッチングを見せてくれますが、物理はその背後に物理量という実体を持っている点が数学とは違います。また、今回の問題が大変なことになるのはポインティング・ベクトルが不完全だからであると私は解釈しております。これはゲージ変換の際に現れる自由度の固定によって解決するのかなという気がするのですが、このあたりになると私も「あっぷあっぷ」ですし、数多くの大先生方が解決できなかった問題ですから難しすぎますね。ともかく、さらなる高みを目指していっしょに勉強してまいりましょう。

お礼

ちょっとわからなくなったことがあります。以前の投稿で、教えていただいた下記の式についてです。

dU/dt＝∫{∂D/∂t･E＋∂B/∂t･H}dv
　　　　　＝∫{(rotH-J)･E－rotE･H}dv
　　　　　＝∫－J･Edv＋∫{rotH･E－rotE･H}dv
　　　　　＝－∫J･Edv－∫{H･rotE－E･rotH}dv
　　　　　＝－∫σE^2dv－∫div(E×H)dv
　　　　　＝－∫σE^2dv－∫(E×H)･ｎdS　　　　　　　
という式の変形の中では、
∫div(E×H)dv = ∫(E×H)･ｎdS　というベクトル解析の公式を使われています。
この公式と、前記のご説明の中の「一番わかりやすい例として、無限遠からやってくる平面電磁波をあげることができます。この例では適当な体積Ｖをとると∫div(E×H)dv=0となりますが、間違いなくエネルギの流れがあります。この平面電磁波について適当な面Ｓをとり、∫(E×H)･ｎdSを計算するとちゃんとエネルギ流の面密度を求めることができます。」は、矛盾するのではないでしょうか？

もしかして、上記の「適当な面Ｓ」は閉じた面ではなく、開いた面なのでしょうか？そうであれば、理解できます。

ある任意の開いた面Ｓ０を通過するエネルギー流が存在するかどうかを確認するための計算式としては、下記の積分を面Ｓ０について行なえばいいのではないでしょうか？

∫(E×H)･ｎdS　

もし、これが正しいのであれば、静電界、静磁界にもエネルギー流が存在するということにはなりませんでしょうか？

回答No.3

TCM

#2の補足見ました。そうですねえ、ポインティング・ベクトルがどこから出てきたのかということを考えると答えが見えてくるかもしれません。kamesenninさんにとってはおなじみのことかもしれませんが、ちょっとおつきあいください。
　さて、ある系の電磁界のエネルギＵは、
　　Ｕ＝(1/2)∫(D･E＋B･H)dv　　　　　　　(1)
で与えられます。ここで、D、E、BおよびHはそれぞれ電束密度、電界、磁束密度および磁界です。式(1)の時間微分をとって、電磁界エネルギＵの時間変化を見ると、
　　dU/dt＝∫{∂D/∂t･E＋∂B/∂t･H}dv
　　　　　＝∫{(rotH-J)･E－rotE･H}dv
　　　　　＝－∫σE^2dv－∫div(E×H)dv
　　　　　＝－∫σE^2dv－∫(E×H)･ｎdS　　(2)
となります。ここで、J、σおよびｎはそれぞれ導電電流、導電率および系境界表面の法線ベクトルです。式(2)の第１項はJoule熱による損失を、第２項は系の境界を通して輸送される電磁エネルギを示しています。この第２項に現れるE×Hがポインティング・ベクトルなのです。ですから本来ポインティング・ベクトルは、「系の電磁界エネルギに時間変化があること」、「系の境界表面が閉じていること」という前提のもとに考えなければならないのです。
　というようなわけで、静電界と静磁界の場合はポインティング・ベクトルを適用するのは妥当でないと思います。また、元の質問の場合は与えられた交流磁界と交流電界が所期の目的においてエネルギの輸送に関わっていないので、やはりポインティング・ベクトル適用の妥当性に疑義が生じるかと思います。またいずれの場合も境界面が閉じていないのも気になります。いかがでしょうか？

お礼

ありがとうございました。おかげで、問題のポイントが見えてきた気がします。
問題のポイントを私なりに整理すると、次のようになります。
１． ポインティングベクトルS= E×Hは、そもそも本当に実態のある電磁エネルギーの流れを示しているのか？　それとも、単なる数式変形上にのみ表れるベクトルなのか？
２． もし、Sが実態のある電磁エネルギーの流れを示しているとして、E,Hが静止した場、すなわち静電界、静磁界であったとしても、S= E×Hで示される量と方向を持った電磁エネルギーの流れはあるのか？
３． 電磁エネルギーの湧き出し（divergence）が０であっても、電磁エネルギーの流れはあるのか？（これは、前記の問題点１と関係します）
静電界の場合、∂D/∂t=0となり、静磁界の場合、∂B/∂t=0となるので、下記の式ではdU/dt=0となると思います。
dU/dt＝∫{∂D/∂t･E＋∂B/∂t･H}dv
　　　　　＝∫{(rotH-J)･E－rotE･H}dv
　　　　　＝－∫σE^2dv－∫div(E×H)dv
　　　　　＝－∫σE^2dv－∫(E×H)･ｎdS　= 0
そうすると、前記の方程式の第2項であるJoule熱の項が０であるとすると、次の式が導けます。
∫div(E×H)dv = 0
∫(E×H)･ｎdS　= 0

E×H=A(一様なベクトル場)の場合でも、上記の式が成立しますので、「系の電磁界エネルギーに時間変化があること」に該当しなくても、ポインティングベクトルは存在すると思います。

４．　ある閉じた空間の範囲内で、E×H=A(一様なベクトル場)を発生させる装置があるとして、その装置は、E×H=A(一様なベクトル場)とは逆方向に運動量ベクトルを与えられるか？

回答No.2

TCM

こんばんは、TCMです。なかなかおもしろいご質問ですね。また、ポインティング・ベクトルＳ＝Ｅ×Ｈの解釈は、考えている領域の境界面を通して外部へ出て行く電磁エネルギの密度というのが一般的だったと思いますが、まあ細かいことは置いておきましょう。
　さて、問題の装置が所期の目的のとおり電磁波を放射できるのかどうかという点が、この問題の核心だと思います。電磁波は放射すると思いますが、おそらく正方形の面に対称に放射してしまうので、どちらにも動かないように思います。マクスウエルの方程式を見ての通り、電界と磁界がお互いを誘起しあうのが電磁波ですので、この場合は所期の目的の電磁波にはなっていないように思うのです。
　確かに、電磁石間の磁束密度Ｂとコンデンサ間の変位電流Ｄから一方向に向かうポインティング・ベクトルＳを求めることはできるのですが、静電界と静磁界からもポインティング・ベクトルはある値を持つことができます。エネルギの流れなんてないのにですよ。そういう意味でポインティング・ベクトルは不完全な量だと私は考えています。実際、抜山先生はポインティング・ベクトルの不完全さをなんとかしたくて抜山ベクトルなるものを考察したりしています。
　ですから、アンテナで電磁波を作って一方向だけに放射する工夫をした方が動力としてはよろしいかと思います。がしかし、ARCさんもご考察の通りとても効率が悪そうですね。宇宙の話題として光子帆船ってのがありますが、実際に使うのは大変そうですしねえ。

お礼

ありがとうございます。そうですね、静電界と静磁界でもポインティングベクトルは発生しますね。静電界と静磁界を直行させた状態で、保持するとエネルギーの流れができるのでしょうか？ポインティングベクトルの定義からすると、できそうな気がします。また、ポインティングベクトルに対応する運動量ベクトルも発生するということになると思います。そうすると、静電界と静磁界を直交させて発生させる装置は、ポインティングベクトルとは逆方向に飛行するのでしょうか？

回答No.1

ARC

質量がないもの(電波、磁場)を、どれだけ放射しても、反作用は得られないと思います。

もっとも、エネルギー＝質量ですから、滅茶苦茶高エネルギーの電磁波を放射すれば、話は変わるかもしれませんが…

仰ってる理論については、私には理解できません(特に、電場と磁場を直交させるくだり。)

お礼

回答をいただき、ありがとうございました。
ポインティングベクトルＳと電場ベクトルＥと磁界ベクトルＨと運動量ベクトルｐとの間の関係式は、次のようになります。
Ｓ＝Ｅ×Ｈ
ｐ＝Ｓ／（ｃ＾２）
ここで、ｃは光速です。
×は、ベクトルの外積です。
これと、運動量保存則からＳをある方向に放出していると、その逆方向に飛行するのではないかと考えたのです。
Ｅの振動とＨの振動が完全に同位相であれば、Ｓは常に同じ方向に向くはずです。その方向とは逆方向に飛行するのではないかと考えたのですが、どうでしょうか？