3次方程式の解き方

質問

3次方程式をどんな解き方で解くのが効率的ですか？

回答No.6

staratras

No.4&5です。一般の場合の3次方程式の効率的な解法について、少し補足します。　

3次方程式、x^3+ax^2+bx+c=0…（１）が与えられたとします。(x^3の係数が1でなければその係数で割ります）このままでは計算が面倒なので、x=X-a/3 となるXで置き換えると、X^3+pX+q=0 …（２）という形式にできます。ここでp=b-(1/3)a^2,q=c-(1/3)ab+(2/27)a^3 です。

次に（２）の判別式D=-4p^3-27q^2　を計算します。
D>0 のとき　相異なる3つの実数解
D<0 のとき　ただ一つの実数解と、互いに共役な2つの複素数解
D=0 のとき　3つとも実数解だがこのうち少なくとも2つは一致(重解）

カルダノの公式を使えばどれも解を求められますが、厄介なのはD>0の場合で、実数解でありながら複素数(の立方根）で表されてしまうからです。これを「還元不能の場合」と言い、このときにはNo.4の三角関数を用いる方法が役に立ちます。

なおNo.4ではあえて触れませんでしたが、あの解法が成り立つにはcos3θの絶対値が１を超えない範囲で
「x^3+px+q=0 をy^3-(3/4)y-(1/4)cos3θ=0に必ず変形できる」必要があります。
このことはD>0の場合にはこの条件から証明できます。

（２）が解けたら、Xからxを求めれば（１）の解が得られます。

回答No.5

staratras

No.4です。三角関数を使った3次方程式の解法は、3つの実数解をもつ場合(還元不能の場合）に威力を発揮します。現代でのこの解法の利点は「方程式を解く機能がない関数電卓でも比較的容易に3つの詳しい数値解が得られる」ことです。

具体的に方程式「x^3-3x^2-x+1=0」を解いてみます。
まず2次の項を消すためにX=x-1 とし、x=X+1を方程式に代入すると
X^3-4x-2=0, X^3=4x+2…（１）が得られます。（これを「立方完成」といいます）

これを三角関数の3倍角の公式cos3α= 4(cosα)^3 －3cosαを変形した
(cosα)^3=3/4cosα+1/4cos3α　…（２）を念頭に
4=3a^2,2=a^2b …（３）とおいた式
X^3=3a^2x+a^2b　を考え、
X=2acosα　とおき（１）へ代入すると
8a^3(cosα)^3=6a^3cosα+a^2b
8a^3で両辺を割って
(cosα)^3=3/4cosα+b/8a　（２）と見比べて

cos3α=b/2a　だからα=(1/3)arccos(b/2a)
X=2acos((1/3)arccos(b/2a))

（３）を解くとa=(2/3)√3、b=3/2 だから
cos3α=(3/2)/{(2/3)√3}=(3/8)√3≒0.649519052
∴α=1/3arccos(0.649519052)
≒1/3(49.49464967°)=16.49821656(°）
なおこの解のほかα+120°、α+240°も解なので
これらに対応するXの値を全部求めると
X≒2(2/3)√3cos(16.49821656°）≒2.214319743
X≒2(2/3)√3cos(136.49821656°）≒-1.675130871
X≒2(2/3)√3cos(256.49821656°）≒-0.5391888727

もとの方程式の解はこれに1を加えた値なので、
x≒3.214319743、x≒-0.675130871、x≒0.4608111273
この3つの実数解は「方程式が解ける関数電卓」で検算した解とも一致しました。

回答No.4

staratras

パソコンの計算ソフト（または計算サイト）や、3次方程式を解ける関数電卓を使ってよいなら、容易に3つの解が得られます。

手計算で厳密に解を求めたい場合にはいくつか方法がありますが、カルダノの公式を使っても2次方程式と比べるとかなり面倒です。近似的な数値解であればニュートン法などが使えますし、また以下に示す2次方程式で近似する方法もあります。大まかに解の見当をつけるのに使えます。

具体的に、3次方程式x^3+3x^2+x+1=0 …（1）を解いてみます。
f(X)=x^3+3x^2+x+1 とすると
f(-3)=-2<0,f(-2)=3>0 だから（1）はこの間に解をもつ。
この解をx=-3+yとおき（0<y<1)（1）へ代入して整理すると
y^3-6y^2+10y-2=0 ここで0<y<1より3次の項を無視すると
-6y^2+10y-2=0 ∴3y^2-5y+1=0 y=(5±√13)/6,0<y<1 より負号の場合y≒0.23
∴x≒-3+0.23=-2.77 （1）の残りの解をβ,γとすると解と係数の関係から
-2.77+β+γ=-3、-2.77βγ=1　∴ β+γ=-0.23、βγ=-0.36だから
β,γは2次方程式z^2+0.23z+0.36=0 の解、これを解いて
z=x=≒(-0.23±1.18i)/2=-0.115±0.59i
答え　x≒-2.77,x≒-0.115±0.59i
3次方程式が解ける関数電卓で検算すると
x=-2.769292354…
x=-0.1153538229±0.589742805i… となりました。

なお昔の数学の本を読むと、計算尺を使う方法や三角関数を使う方法などさまざまなやり方で3次方程式を解く方法が書かれています。こうした工夫はコンピューター時代になってあまり取り上げられませんが、なかなか興味深いものがあります。

回答No.3

SI299792

確実に求めるなら、カルダノ法です。複素数の解をだせます。
https://mathtrain.jp/cardano

しかし、とても手計算ではできません。
昔、プログラムを作ったことがあります。
必要なら、Excel VBA に直して載せます。

回答No.2

178-tall

>3次方程式をどんな解き方で解くのが効率的ですか？

実務などで実係数 3 次方程式を「効率的」に解くのなら、ニュートン法と組み合わせた求根アルゴリズムでまず 1 つの実根を求め、残りの実係数 2 次方程式を解く … という手てすかネ。

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%82%E6%A0%B9%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0

回答No.1

N5200model05

Mathematica にかける、ですかね。