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極限のおもしろい証明問題。
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r<1のとき、lim(n→∞)r^n=0 は、既知のものとする。 |a|より大きな自然数Mを一つ固定する。すると、|a|/M<1となるので、 lim(n→∞)(|a|/M)^n = 0 となる。 したがって、任意に与えられた正実数εに対して、自然数Nで、Nより大きい任意の自然数nについて、 (|a|/M)^n < (M!/(M^M))ε となるNが存在する。すると、このようなnのうち、Mより大きなものについては、 |(a^n/n!)-0|=|a|^n/n! < ((|a|^n)/M!)(|a|/M)^(n-M) = (M^M/M!)(|a|/M)^n < (M^M/M!)(M!/M^M)ε=ε が成り立つ。(与式をMを基準に分け、先の式を代入して整理した。) これは、lim(n→∞)(a^n/n!)=0であることを示している。 以上。
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- muturajcp
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k>2a となる自然数kがある 任意のε>0に対して n_0>k+(2a)^k/k!/ε となる自然数n_0がある n>n_0となる任意の自然数nに対して n>n_0>kだから |a^n/n!| =a^n/n! =(a^k/k!)Π_{j=k+1~n}(a/j) ↓k<j<2a→a/j<1/2だから <(a^k/k!)/2^(n-k) =(2a)^k/k!/2^n <(2a)^k/k!/n <(2a)^k/k!/n_0 <(2a)^k/k!/{(2a)^k/k!/ε} =ε ↓ |a^n/n!|<ε ∴ lim_{n→∞}a^n/n!=0
- gamma1854
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x[n]=a^n/n!, (a>0) とします。 x[n]=(a/1)*(a/2)*(a/3)*****(a/n)=x[n-1]*(a/n). ですから、 nが大きくなっていきa を超えると a/n<1 となり、 x[n]>x[n+1]>x[n+2]>.... しかし、x[n]>0 ゆえ、{x[n]}は下に有界 (lim x[n]=α (>0)が存在)。 lim x[n+1]={lim x[n]}*{lim a/(n+1)}=0.
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お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。 !