逆、裏、否定、対偶

質問

基本的なことなのですが、命題の逆、裏、否定、対偶が分からなくなりました。

１．簡単な例で『Ａ⇒Ｂ』の逆、裏、否定、対偶を教えてください。

２．ちょっと高度な例で、『∀ε，∃δ，∀x (|x|<δ)，(|f(x) - 0|<0)』の逆、裏、否定、対偶を教えてください。

回答No.1

noname#598

対偶は（Ｂでない）⇒（Ａでない）
ということはご存知だと思いますが…

１．（taropooさんにとっては確認するまでも無いことかもしれませんが・・・）
原型　ｘ＞０かつｙ＞０　ならば　ｘ＋ｙ＞０
逆　　ｘ＋ｙ＞０　ならば　ｘ＞０かつｙ＞０
裏　　ｘ≦０またはｙ≦０　ならば　ｘ＋ｙ≦０
対偶　ｘ＋ｙ≦０　ならば　ｘ≦０またはｙ≦０

少しずつ２．に近づけてみましょう
原型　全てのｘ＞０に対して、ｙ＞０　ならば　ｘ＋ｙ＞０
逆　　全てのｘ＞０に対して、ｘ＋ｙ＞０　ならば　ｙ＞０
裏　　全てのｘ＞０に対して、ｙ≦０　ならば　ｘ＋ｙ≦０
対偶　全てのｘ＞０に対して、ｘ＋ｙ≦０　ならば　ｙ≦０

２．は懐かしい、ｘ＝０で連続であることの定義（定理？）ですね。１０年ぶりに見ました（笑）
どこに「ならば」があるか、忘れるんですよね、これ（笑）
正確には、辞典を見ますと、
『∀ε＞０，∃δ＞０，∀x (|x|<δ)，|f(x) -f(0)|<ε』とあるので、これでいきます。
記号を「和訳」すると、
「全てのε＞０に対して、適当にδ＞０をとり、ｘが|x|<δを満たすならば、常に|f(x) - f(0)|<εである」

逆は、
「全てのε＞０に対して、適当にδ＞０をとり、常に|f(x) -f(0)|<εならば、ｘは|x|<δを満たす」
裏は、
「全てのε＞０に対して、適当にδ＞０をとり、ｘが|x|≧δを満たすならば、常に|f(x) - f(0)|≧εである」
対偶は
「全てのε＞０に対して、適当にδ＞０をとり、常に|f(x) - f(0)|≧εであるならば、ｘが|x|≧δを満たす」

だったと思います。２．は全然自信なし…

補足

お聞きした事に関してお答え下さい。

１．でｘ＞０だのｙ＞０だのはどこから出てきたのですか？私は『Ａ⇒Ｂ』に関して質問をしたのですよ。
しかも一番気になっている「否定」に関して何も述べていらっしゃらない。

２．に関してもこちらは真剣に聞いています。自信の無い回答を見せられて私はどうすればいいのでしょう？

お聞きした事に関して、回答に自信のある方からのご回答をお待ちしております。