√ｎが直線定規とコンパスで作図できる理由

質問

無理数でも作図できるのでしょうか。

回答No.7

FEX2053 · ベストアンサー

＞コンパスで半径0.5（単位）の円を描いた場合、円周はπに
＞なりますが、これはπの作図ではないのでしょうね。

何せ「数学」の世界ですからね作図で求められる「数」には
厳密な定義がありまして、「平面上の任意の2点間の直線距離」
として現されるものしか認められないんです。

円周率は「円を半径方向に無限に切り刻み、互い違い並べて
できる長辺方向の長さ」ですから、前の示した定義にある
「定規とコンパスを有限回用いて」に反しますね。まあ、
この件も「円積問題」として、ピタゴラスの昔から検討されて
いた問題ではありますが・・・。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E7%A9%8D%E5%95%8F%E9%A1%8C

お礼

勉強してみます。

回答No.12

OKWavezz

できないりゆうがないよ

お礼

√ｎ以外の無理数はどうでしょうか。

回答No.11

noname#242965

＞我ながら単純すぎますが、コンパスで半径0.5（単位）の円を描いた場合、
＞円周はπになりますが、”これはπの作図ではないのでしょうね。”
πの作図ではないと自分で認めているではありませんか。
これは貴方の発言ですよ。

お礼

確認したかっただけです。どこかはなしがずれておりますので、ご放念ください。

回答No.10

noname#242965

添付図に於いて、AB＝１、BB2=１とした時、と言う仮定しているではありませんか？
証明されたわけでもない仮定の話の上に作図は成り立っています。
ですから、作図は元々数学ではないのです。

お礼

おっしゃっている意味が分かりませんが、特に作図は数学ではないというのは本当でしょうか。

回答No.9

noname#242965

＞それは前提で証明するしないの問題ではないと思いますが。
＞円周はに２πrであることは認められているのでは。
いいえ、前提で証明しなければ、数学とは言えません。
証明できないので、作図は数学ではありません。
数学では円周は２πｒです。
スレ主が作図は数学であると思い込んでいることが、基本的な勘違いを引き起こしている原因と思われます。

お礼

そうですか。

回答No.8

noname#242965

＞コンパスで半径0.5（単位）の円を描いた場合、円周はπに
＞なりますが、これはπの作図ではないのでしょうね。
貴方が作図した半径０．５が本当に０．５であることを証明しなけれなならない。
できますか？

お礼

それは前提で証明するしないの問題ではないと思いますが。円周はに２πrであることは認められているのでは。

回答No.6

fujiyama32

＞√ｎが直線定規とコンパスで作図できる
√ｎを直線定規とコンパスで作図できます。
√6まで作図した例を貼り付けましたので、参考にして√7以降を
作図してください。
＜＜√7の場合＞＞
底辺を√6とし、垂線を1とした三角形を描きます。
斜線が√7になります。
＜＜√8の場合＞＞
底辺を√7とし、垂線を1とした三角形を描きます。
斜線が√8になります。
＜＜√10の場合＞＞
底辺を3とし、垂線を1とした三角形を描きます。
斜線が√10になります。
＜＜√11の場合＞＞
底辺を√10とし、垂線を1とした三角形を描きます。
斜線が√11になります。

お礼

√n以外の無理数は作図できないのでしょうか。

回答No.5

178-tall

一部 補足。

　線分 AC を描く。(AB の延長線上に |AB| の r 倍の点 C をとる)
　　　↓
　AC の中点 O を求める。
　　　↓
　O を中点とし、A, C を通る円を描く。
　　　↓
　AB の延長線上に |AB| =||BE| なる点 E をとる。
　　　↓
　AE の中点 B を通り AE への垂線を引き、それと円 O との交点 D を求める。

回答No.4

178-tall

>…難しそうですが…

シナリオだけでも…。

　線分 AC を描く。(AB の延長線上に |AB| の r 倍の点 C をとる)
　　　↓
　AC の中点 O を求める。
　　　↓
　O を中点とし、A, C を通る円を描く。
　　　↓
　AB の延長線上に |AB| の点 E をとる。
　　　↓
　AE の中点 B を通り AE への垂線を引き、それと円 O との交点 D を求める。

( |BD| = √r だという)

回答No.3

FEX2053

定規とコンパスで作図できる「数」については、数論の一つの
ジャンル（思考実験）として存在しており、「作図できている
点を元にして描いた円や直線の交点として新しい点を求めると
いう操作はこれら高々二次の方程式を連立させてその解を求める
という問題に帰着される。」とされています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E8%A6%8F%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%B9%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E4%BD%9C%E5%9B%B3

ということで、「二次方程式の解として存在する無理数は作図で
求めることができる」という事になりますね。

逆に言えば「二次方程式の解ではない」円周率（π）や自然対数の底
（e）は、作図では求めることができない、ということになります。

お礼

我ながら単純すぎますが、コンパスで半径0.5（単位）の円を描いた場合、円周はπになりますが、これはπの作図ではないのでしょうね。

回答No.2

178-tall

>作図できない無理数も多くあるのでしょうか。

「有名な構図を用いる方法」を利用すればできそうです。

…試してみて。

お礼

ちょっと私には難しそうですが、いろいろやってみます。