数学を特徴づけるものとは？

質問

数学を特徴づけるものを１つあげるならそれは、何ですか？自分は、数学の自由性だと思うのですが。。。それについてどう書きあげればいいのかわかりません。そのことについてもご意見ください。できればなるだけ早くお願いいたします。

回答No.7

noname#7273 · ベストアンサー

わたしも数学の特徴として「自由性」ということに賛成です。
じゃ、数学のどこが自由かということになりますね。

さて、多くの数学者が、数学は自由であるといっているかと思いますが、
実は、カントールも数学は自由であると言っています。
---カントール(Georg Cantor,1845～1918)：集合論の創始者。
デンマーク生まれのユダヤ系商人の子としてペテルブルグで生まれた。
1856年ドイツへ移住。ベルリン大学で学位を得、ハレ大学で教えた。---

そのカントールの創始したのは、いわゆる素朴集合論で、
後になって、単に「ものの集まり」というだけでは矛盾が生じる、
ということが指摘され(たとえばラッセルの矛盾)、
それらを回避する手立てとして公理論的集合論が生まれ、
今では、数学基礎論という確固たる分野も築かれています。

公理とは、現実にそうであるかないかに頓着せず、
兎に角無条件に真であると仮定してみるという命題のことです。
そういう命題を議論の出発点として、
正しい推論を重ねていった末に、
どんな体系が生まれるかを見ようとする。

もちろん、うまくいけば、それが現実の現象を説明するのに
役立つかもしれませんが、むしろそれが目的というのでもない。
何を仮定したら何が生まれるか、
論理の糸を、自由に操って、思惟の世界を楽しむ
それが数学の醍醐味のように思います。

実験科学者の興味は、さまざまな現象の解明にあり、
工学者の興味は、実際に役立つ道具を作ることにある。

しかし、それらとは対照的に、数学者の興味は、
上記の分野の基礎理論となり得ることを知ってか知らずか、
兎に角、論理のエレガントさに心惹かれ、
純粋な理論体系を打ち立てることそれ自体に興味があるといえます。

カントールが、数学は自由であるといって、
一種の公理論的立場を早期から主張しながら、
素朴集合論に内在する一つの矛盾が指摘され、
公理論的集合論が生まれたというのは歴史の皮肉かもしれません。

以上長くなりましたが、ikecchiさんのように、
自由さという視点でまとめたいとすれば、
現代の数学は「公理論的数学」に立脚しているという点に着目し、
その歴史的な背景を一通りひもといてみることをお勧めします。
その一つの例が集合論の発展の歴史だということです。
また、その他の例としては、ユークリッド幾何学と
非ユークリッド幾何学の関係なども同様に公理論的数学の
歴史をたどる良い教材になるともいます。

次のURLも参考になると思います。

・公理的集合論ってなあに？
http://math.idbsu.edu/~kada/html/settheory.html
・ゲーデルへの道
http://alan.scitec.kobe-u.ac.jp/~hayashi/history/talks/game/index.htm

参考URL：

http://math.idbsu.edu/~kada/html/settheory.html

お礼

そうなんですよ！自分もカントールの言葉から自由性に焦点を当てたんですよ。読みながら目がキラキラしてきました！本当にありがとうございます。大変参考になりました。ぜひいいレポートができあがるようにがんばります。またよろしかったら質問に返答してください。