数学

質問

微分の問題なんですが、（２）から教えていていただきたいです

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

f(x)=(logx)/√x
とし,曲線
y=f(x)
をCとする

(1)
C上の点(t,f(t))におけるCの接線の方程式は
y=f'(t)(x-t)+f(t)
f(t)=(logt)/√t
f'(t)=1/(t√t)-(logt)/(2t√t)
f'(t)=(2-logt)/(2t√t)
y=(x-t)(2-logt)/(2t√t)+(logt)/√t
y=x(2-logt)/(2t√t)-(2-logt)/(2√t)+(logt)/√t
y=x(2-logt)/(2t√t)+(-2+3logt)/(2√t)

(2)
(0,a)は接線上の点だから(1)の式に(x=0,y=a)を代入すると
a=(-2+3logt)/(2√t)
a=a(t)としてtで微分すると
a'(t)=3/(2t√t)+(2-3logt)/(4t√t)
a'(t)=(8-3logt)/(4t√t)
lim_{t→0}a(t)=-∞
0<t<e^{2/3}の時a'(t)>0だからa(t)は増加だからa(t)<0
a(e^{2/3})=0
e^{2/3}<t<e^{8/3}の時a'(t)>0だからa(t)は増加だから0<a(t)<3/e^{4/3}
a(e^{8/3})=3/e^{4/3}
t>e^{8/3}の時a'(t)<0だからa(t)は減少だから3/e^{4/3}>a(t)>0
lim_{t→∞}a(t)=0
だから
0<a<3/e^{4/3}の時
点(0,a)からCに引いた2本の接線をl1,l2とすると
接線l1はt>e^{8/3}で接し
接線l2はe^{2/3}<t<e^{8/3}で接するから
∴
0<a<3/e^{4/3}

(3)
0<a<3/e^{4/3}
Cとl1の接点のx座標がe^4である時,
e^4>e^{8/3}だから
接線l2はe^{2/3}<t<e^{8/3}で接する
a(e^4)={-2+3log(e^4)}/{2√(e^4)}
a(e^4)=5/e^2
a(t)=(-2+3logt)/(2√t)=5/e^2
a(e^2)=2/e
5<5.4=2*2.7<2e
a(t)=5/e^2<2/e=a(e^2)
e^{2/3}<t<e^{8/3}の時a'(t)>0でa(t)は増加でa(t)<a(e^2)だから
t<e^2
だから
logt<2
だから
f'(t)=(2-logt)/(2t√t)>0
だから
l2の傾きの符号は正