1=0.99999・・・について「改」

質問

前回、質問文を間違えましたので、再度、質問いたします
回答をお送りしてくださった方がたにお詫び申し上げます。

1=0.99999・・・だそうです。腑に落ちませんがｗ
分子＝分母＝（1ー0.99999・・・）は１だそうです。定義らしいです。
定義なら、「この式が成り立つなら分母は０じゃない、すなわち、1=0.99999・・・じゃない」と疑問をもってもしかたありません。
この定義について解説してる書籍を紹介してください。
工業高校レベルで理解できればうれしいですが、そうはいかないでしょうね
（先生が言ってましたｗｗｗ）

回答No.22

f272

#19です。
(A)分母が0ではない式を自分で作ったのなら，それ以降は0で割らないようにするだけですから，これは誰でもできます。
(B)だれが作ったかわからない，そして正しいかどうかもわからない式なら，
(B1)分母が0になるときはどんなときかを確認して，その時は無意味な式と考えればよい。
(B2)それ以外の場合には分母が0でないと確認できているのだから(A)と同じです。誰でも0で割らないようにすることは可能です。
だから
> 式が成立した後の計算（式の展開、変形）の結果、やっと分母が0かどうかわかる
としても，それは「答えが予めわかっていて初めて可能なこと」ではありません。

お礼

ありがとうございました。

なんだか、質問の主意がズレてきたので、出直してきます

回答No.21

Water_5

有限の世界では
（１）∞＋∞＝２∞　です。
しかし、無限の世界では
（２）∞＋∞＝∞　です。
（２）はそう言うものだと自分に言い聞かせないと
いつまでたっても（１）と（２）の間を行ったり来たりして先へ進みません。

お礼

回答ありがとうございます
工業数学では、先ず「有効桁ありき」です。無限なんて別宇宙の話です。
その教科書の範囲で無限を理解しようとした自分が愚かでした。
なんとなく専門の数学に憧れていたのですが
ありがとうございました。

回答No.20

Water_5

＞「1=0.99999・・・じゃない」と疑問をもってもしかたありません。
私も疑問を持っています。
だから、貴方も希望を持ってください。
1＞0.99999・・・ですので

お礼

工業高校の数学のレベルでは理解できないようですね。
εーδなんたらは「従属変数や独立変数の誤差を任意の範囲に設定することが可能ならば云々」としか読み取れません。極限値どうしの計算、例えば、分子、分母がともに極限値を０にするような式では極限値に収斂する速度の違いを比較し、速度の速いほうの項が式全体を支配すると考えていましたが、違うようです。理解はあきらめました。

回答No.19

f272

今考えているのは，分子=(1-h)×(1-h) 分母=(1-h)という式です。

> 約分しなければ（１－ｈ）は極限値にならないのですか

もちろん約分しなくても1-hに極限値はあってその極限値は0ですよ。でも分母が0になることは許されませんから，(1-h)×(1-h) / (1-h)のままでは極限にしても意味がありません。
lim((1-h)×(1-h) / (1-h))=lim(1-h)×lim(1-h) / lim(1-h)
なんて式が成立するのは，それぞれの極限が収束してかつ分母が0にならない時だけです。

お礼

分母が0になることは許されません
そうはいっても。世の中には分母が0になる式はいくらでも生まれてきて、式が成立した後の計算（式の展開、変形）の結果、やっと分母が0かどうかわかることで、途中でそうならないように式を変形するというのは、答えが予めわかっていて初めて可能なことであって、人間業とは思えません。

回答No.18

f272

> では、約分した後の（ｈ-1）なぜは≒０ではなく=0になるのですか。

だから極限値のことがわかっていないといわれるのです。
hが1に近づくときh-1は0に近づくのです。そして，そういう時にh-1の極限値は0に等しいというのです。h-1が0に等しいなどとは言っていません。
h-1が0に等しくなるかどうかはまた別の話です。

お礼

約分しようがしまいがｈ→１のとき（１－ｈ）の極限値は０に等しいと思うのですが、約分しなければ（１－ｈ）は極限値にならないのですか

回答No.17

f272

> なぜ、約分する前と後でh→1の扱いが変わるのですか

扱いが変わるとはどういうことですか？約分をしてもしなくてもhは1ではありませんが，1に近づけることはできますよ。

お礼

何度も回答ありがとうございます

　hは1ではありませんが，1に近づけることはできますよ。
では、約分した後の（ｈ-1）なぜは≒０ではなく=0になるのですか。
（ｈ-1）の形は変わっていないのでh→1の扱いというか意味が変わっているのではないのですか。

回答No.16

f272

#4 & #10 & #15です。

> 分子=(1-h)×(1-h) 分母=(1-h)という式でh→1のとき答えは0ですよね
> なぜ、0×0/0とならないのですか。

形式的には0×0/0ですが，すでに言ったようにh→1のときはhは1ではありません。したがって約分できて，元の式は1-hになります。これはh→1のときには0に収束するので，極限値は0に等しくなります。

お礼

礼文省略蒙御免

約分するときは　h→1のときはhは1ではありません
約分をしたとたん　h→1のときには0に収束するので，極限値は0に等しく　　　　　　　　　なります。

なぜ、約分する前と後でh→1の扱いが変わるのですか

回答No.15

f272

#4 & #10です。

「hが1に限りなく近づくことが可能な数であるとき」というのはどういう意味で使っているのかよくわからなかったが，
>（数学的表現ではlimの下に小さくh→１と書いて、limの隣にhとかきます。hをカッコで囲むこともあります）
と書いてあるのでそういうことを前提にすると，「1-h=0は成り立つ」というのは間違いです。それから「h=0.9999.....と表記することは正しい」も間違いです。
だから「この前提で」と言われても前提が間違っているのです。

> hが1に限りなく近づくことが可能な数であるとき(1-h)/(1-h)はなぜ
> 0/0にならずに1になり、(1-0.9999.....)/(-0.9999.....)は無意味になるのですか？

h→1のときhは1ではありません。1に近づくだけです。
例えばh→1のとき(1-h)/(1-h)→Lとするとき，hは1ではありませんから(1-h)/(1-h)は約分できて1です。だから1は当然に1に収束します。収束先も1です。

> hが1に限りなく近づくことが可能なときh=1=0.9999.....で1-h=0
> これも、ハイそうですか、です。

これも間違いですね。h→1のときh→1=0.9999.....で1-h→0というのであれば正しいのです。
どうやら極限操作と極限値の違いが分かっていないようです。

お礼

回答ありがとうございます

分子=(1-h)×(1-h) 分母=(1-h)という式でh→1のとき答えは0ですよね
なぜ、0×0/0とならないのですか。

回答No.14

asuncion

つまり、分母・分子が同じだからといって安易に約分してしまうことはまずい、というわけです。
今の問題のように0 / 0（これは約分できない）という場合があるからです。

お礼

回答ありがとうございます（下の回答を含めて）

1= 0.99999...は丸暗記するとして
h→1のときは、h=0.99999...ではないのですか

回答No.13

asuncion

＞分子＝分母＝（1ー0.99999・・・）は１だそうです。定義らしいです。
(1 - 0.99999...) / (1 - 0.99999...)
がなぜ1にならないかというと、まずは分母・分子（特に分母）が0であるかどうかを
検証してからでないと計算してはいけないからです。0割りを防ぐために。
(1 - 0.99999...) / (1 - 0.99999...)
= 0 / 0
となりますので、ここから先は何もできません。確か不定とか不能とかいうんじゃなかったかと思います。