回転振動の固有角振動数の求め方について

質問

次の問の回転振動の求め方が分かりません、答は(2)になるのですが、教えていただけますか？

回答No.2

ddtddtddt · ベストアンサー

#1です。

　まず運動方程式が求まって、それが単振動の方程式になってれば良い、ってのはOKですよね？。
　保存系の場合、ラグラジアンLはL＝[運動エネルギー]－[ポテンシャルエネルギー]の形をしていて、系の運動の自由度の一つをxi，その速度をviとすると運動方程式は、

　　d(∂L/∂vi)/dt－∂L/∂xi＝0　　　(1)

になります。ただし条件があって、運動の自由度の全体(xi)に拘束条件が付かない事。例えば2次元の質点運動で、(x1，x2)＝(x，y)である時に(x，y)が円軌道上に拘束され、x^2＋y^2＝r^2という軌道条件があっては駄目です。この時は軌道条件を取り込んだ座標系として極座標(r，θ)なんかを考え、r＝一定としてθのみに(1)を適用する事になります。ここまではOKですか？。

　ここからは前回の添付図を参照してください。

　次に2次元平面内での剛体の運動の自由度は、重心のx，y方向への並進運動と剛体全体の回転運動θの3自由度になります。今はx方向は無視していいでしょう（特に条件がないので）。自由度は(y，θ)。
　ところで回転運動の回転角を指定するためには、回転中心を指定する必要がありますが、ふつうは重心回りの回転角を採用します。物体（剛体）の回転運動の表現が最も明解になるからです。
　そこで前回の添付図のように剛体中央に原点を持つx-y座標系を考え、x軸からの剛体の回転角をθとします。この中で使うのは、実質的にはyとθのみです。またyとθには明らかに拘束条件は付かないので、(1)がそのまま使えます。

　運動エネルギーVを計算します。回転中心を重心に取った場合、運動エネルギーVは、

　　V＝1/2×mv^2＋1/2×Iω^2　　　(2)

で計算できます。ここでmは物体の質量，v＝dy/dtで、Iは重心回りの物体の慣性モーメント，ω＝dθ/dtです。回転中心から距離rの質点mの慣性モーメントは、mr^2でしたよね？（高校でやりましたよね？(^^)）。
　剛体の線密度ρはm/2aなので、剛体は、重心から距離rにρdrの質点のある集合体と考えると、Iは前回の添付図の最初の計算になります。これで運動エネルギーVはあがりです。

　この問題では重力は無視してるのでポテンシャルエネルギーは、バネの弾性エネルギーUのみです。剛体の運動の初期位置をy＝0，θ＝0としても一般性は失われません。こう仮定すると運動後の剛体の両端の座標をPL，PRとした時、

　　PL＝(－a＋acosθ，y－asinθ)
　　PR＝(a－acosθ，y＋asinθ)

なので、運動後のバネの長さは、

　　L＝((a－acosθ)^2＋(L0＋y±asinθ)^2)
ですが（L0はバネの初期長さ）、問題に微小振動という条件があったので、θ→0ならcosθ→1だよね？という事で、

　　L＝L0＋y±asinθ

と省略しました。±の＋は右端，－は左端です。よってバネの伸びは、

　　L－L0＝y±asinθ

になります。左右に同じバネが付いてるので、バネの弾性エネルギーは、

　　U＝1/2×k(y－asinθ)^2＋1/2×k(y＋asinθ)^2＝ky^2＋ka^2(sinθ)^2　　　(3)

です。L＝V－Uでした。

　後は(1)を使って単純に微分し、運動方程式を出すだけです。出した後もう一回、θ→0を考慮してやるとcosθ→1，sinθ→θから、運動方程式として最後の2式が得られます。Iには最初の式の結果を代入して下さい。

お礼

とても親切にわかりやすく教えていただいて本当にありがとうございました。
非常に助かります。

回答No.1

ddtddtddt

普通にやると面倒なので、ラグラジアンを使います。
　添付図を見て下さい。

　添付図が見にくかったり、何をやってるのかわからない場合は、また質問して下さい。

補足

ラグラジアンを使用する事はわかったのですが、具体的に何をしているか分かりません。
教えていただけますか？
よろしくお願いします。