部分積分法

質問

画像の(5)(6)の問題がわかりません。
f=cos^2 g'= cosx とおくとどのような途中式になるのでしょうか

回答No.2

noname#231363

(5)
f(x)= cos^2(x)とおくと、f’(x)=-2cos(x)sin(x)であるから、
∫cos^3(x)dx
=∫cos^2(x)cos(x)dx
=cos^2(x)sin(x)+2∫cos(x)sin^2(x)dx
=cos^2(x)sin(x)+2∫cos(x){1-cos^2(x)}dx
=cos^2(x)sin(x)+2∫cos(x)dx-2∫cos^3(x)dx
よって、
3∫cos^3(x)dx=cos^2(x)sin(x)+2sin(x)+C'
これから、
∫cos^3(x)dx={cos^2(x)sin(x)+2sin(x)}/3+C'/3
ここで、C'/3=Cとおき換えると、
∫cos^3(x)dx={cos^2(x)sin(x)+2sin(x)}/3+C

(6)
f(x)= sin^2(x) とおくと、f’(x)=2sin(x)cos(x) であるから、
∫sin^3(x)dx
=∫sin^2(x)sin(x)dx
=-sin^2(x)cos(x)+2∫sin(x)cos^2(x)dx
=-sin^2(x)cos(x)+2∫sin(x){1-sin^2(x)}dx
=-sin^2(x)cos(x)+2∫sin(x)dx-2∫sin^3(x)dx
よって、
3∫sin^3(x)dx=-sin^2(x)cos(x)-2cos(x)+C'
これから、
∫sin^3(x)dx=-{sin^2(x)cos(x)+2cos(x)}/3+C'/3
ここで、C'/3=Cとおき換えると、
∫sin^3(x)dx=-{sin^2(x)cos(x)+2cos(x)}/3+C

回答No.1

f272

簡単のためにc=cosx，s=sinxと書く。

∫(c^3)dx
=∫(c^2*c)dx
=c^2*s+∫(2c*s^2)dx
=c^2*s+∫(2c*(1-c^2))dx
=c^2*s+∫(2c)dx-∫(2c^3)dx
=c^2*s+2s+(積分定数)-∫(2c^3)dx

∫(s^3)dx
=∫(s^2*s)dx
=-s^2*c+∫(2s*c^2)dx
=-s^2*c+∫(2s*(1-s^2))dx
=-s^2*c+∫(2s)dx-∫(2s^3)dx
=-s^2*c-2c+(積分定数)-∫(2s^3)dx