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べき級数の収束半径
siegmundの回答
- siegmund
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sigmund です. taropoo さんの No.5. a_n が振動したり,という変なことはないから (だからこそ,ダランベールの定理が使える), 普通に lim |a_n|^(1/n) を計算すればいいでしょう. log を取るのが簡単ですか. 【1】 log |a_n|^(1/n) = (1/n) {log n + n log 2} → log 2 ∴ 1/ρ = 2 ⇒ ρ = 1/2 【2】 log |a_n|^(1/n) = (3/n) log n → 0 ∴ 1/ρ = 1 ⇒ ρ = 1 【3】 Stirling の公式,log n! ~ n log n [n → ∞ のとき] を使って log |a_n|^(1/n) ~ (1/n) {log (2n+1) - n log n} → - ∞ ∴ 1/ρ = 0 ⇒ ρ = ∞ 【4】 log |a_n|^(1/n) ~ (1/n) n log n → ∞ ∴ 1/ρ = ∞ ⇒ ρ = 0 Stirling の公式は,もう少し丁寧に書けば n! ~ √(2πn) n^n e^(-n) {1 + (1/12n) + (1/288n^2) + ...} [n→∞] です.
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