べき級数の収束半径

質問

べき級数の収束半径を求めよ。

1,Σn=1 ∞　((-1)^n)*n*2^n*z^n
2,Σn=1 ∞ n^3*z^n
3,Σn=0 ∞ ((2n+1)/n!)*z^n
4,Σn=0 ∞ ((-1)^n)*n!*z^n

以上の問題がわかりません。教えてください。
あまりわかっていないので丁寧にお願いします。

回答No.7

taropoo

logを取るのであれば、コーシーアダマールの公式は
log(1 / ρ) = log((lim{N→∞} sup{n≧N} |a_n|^(1/n))
　　　　= lim{N→∞} sup{n≧N} log |a_n|^(1/n)　　　　…(i)'
となりますね。siegmund先生の回答をもう少し省略なしに見ていきますと

１．
log(1 / ρ) = lim{N→∞} sup{n≧N} log((n*2^n)^(1/n)
　　　　= lim{N→∞} sup{n≧N} (1/n)(log n * log 2^n)
　　　　= ？
　　　　= log2　　　∴ρ = 1/2

となり、supはn=Nの時なのか違うのかをどう判断すれば良いのか分かりません。
特に４．などは単調増加なのでsupとなるのはn=Nじゃないですよね？
そう言う場合はどう処理すればいいのでしょうか？

処理の問題とは別に
　　　　lim{n→∞} (1/n)log n = 0
の理由もわかりません。

と言う訳で、改めまして
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(命題A) Nがある程度大きい時
　　sup (1/n) log n = (1/N) log N
　　n≧N

(命題B) lim (1/N) log N = 0
　　　　N→∞

(命題C) lim{N→∞} sup{n≧N} log n = ∞
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それぞれが成り立つ理由について教えてください。

ちなみにkarkarlさん、
> Stirling の公式，log n! ～ n log n [n → ∞ のとき]
で出てくる記号「～」の意味は分かりますか？念の為書いておくと、
lim{n→∞} a_n = lim{n→∞} b_n = ∞、かつlim{n→∞} a_n / b_n = 1 となる時、
a_nとb_nとは「同値」な無限大と言い、「a_n ～ b_n」と書きます。
a_n ～ αb_n (α≠0)の時、a_nとb_nとは「同位」の無限大といいます。