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めんせき
メンセキを 多様な発想で求めて下さい； https://brilliant.org/discussions/thread/how-to-find-the-area-of-the-shaded-part/ {x^2 + y^2 = (1/2)^2, (x - 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 = 1^2} として;
- 011011gb
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- staratras
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No.2&4です。あまり面白みはありませんが、もちろん積分計算だけで求めることもできます。計算しやすいように45度回転させて考えると下の図のようになります。2円の第1象限での交点は((√14)/8,(√2)/8)です。 求める面積をSとすると、図の黄色の部分の4倍になるので、 S=4∫(0→(√14)/8）〔√(1/4-x^2)-{(√1-x^2)-(√2/2)}〕dx 途中の計算を省略して最終結果だけ書くと、 S=(1/4)(√7）+(1/2)arcsin( √14/4）-2arcsin( √14/8）です。 数値計算するとS≒0.29276252となって、当然ですがNo.2の値と一致します。「めでたし、めでたし」と言いたいところですが、よくよく見ると、No.2の解は以下の通りでπを含んでいます。 S=(2√7-3π)/8+2arcsin((5-√7)/8)+1/2arcsin（(√7-1)/4） そこで二つのSを等号で結んで整理すれば以下の式が得られます。 π=(16/3)｛arcsin((5-√7)/8)+arcsin( √14/8）}+(4/3){arcsin（(√7-1)/4)-arcsin( √14/4）｝ 実用になるかどうかはわかりませんが（多分ならないでしょうけれど）、円周率を求めるarcsin型公式（？）が得られてしまいました！！面白みはないという前言は撤回します。
- 178-tall
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参考URL ↓ Lune / Hippocrates
- staratras
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No.2 です。最後の最後でα、βを代入した計算にミスがありました。失礼しました。 S=(2√7-3π)/8+2α+1/2β≒0.29276… くらいです。
- 178-tall
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ご指示 URL の中段あたり、 「Let side length be 10」 とある直下の図面に頼るのが判り易すそうですね。
- staratras
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ベタな解法で恐縮ですが、以下のように求めてみました。正方形の1辺を1とします。 まず下の左の図で、（座標の取り方がご質問とは異なります）真ん中の半径1/2の円と、点(0.1）を中心とする半径1の扇型(4分円）の面積は等しいので、求めたい面積の半分(黄色の部分）の面積は、図の桃色の部分の面積と等しいことがわかります。（それぞれ共通の重なっている白い部分からはみ出した部分だから） そこで桃色の部分の面積を求めたいのですが、ここで邪魔になるのが図の赤い部分です。この面積さえわかれば、桃色の面積は（正方形の面積ー円の面積)×3/4－（赤い部分の面積の2倍）で求められます。 そこで下の右の図のように正方形ABCDに内接する点E(1/2,1/2）を中心とする半径1/2の円を考えます。Gはこの円と正方形の辺BCとの接点、Fはこの円とAを中心とする4分円弧BCとの交点、FHはFからBCに下ろした垂線の足です。 ここでFの座標は、(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/4.x^2+(y-1)^2=1 を連立させて解くと F((5-√7)/8，(3-√7)/8)です。ここで∠BAF=α、∠GEF=β とすれば sinα=(5-√7)/8、sinβ=(√7-1)/4 ここで台形ABHF=(1+(3-√7)/8）×(5-√7)/8×1/2=（31-8√7）/64 台形BGHF=(1/2+(3-√7)/8）×(1/2-(5-√7)/8）×1/2=(4√7-7)/64 赤い部分の面積はこの2つの台形の面積の和から、2つの扇型の面積の和を引いたものです。扇型の面積は中心角を弧度法で表せば、1/2×半径の2乗×πだから 赤い部分の面積=（31-8√7)/64+(4√7-7)/64-(1/2α+1/8β)=(6-√7)/16-1/2α-1/8β また4隅の面積は1-π/4、3隅の面積は3/4(1-π/4）だから、求める面積をSとすると S=2×(3隅の面積-2×赤い部分の面積） ＝2×〔3/4(1-π/4)-2（(6-√7)/16-1/2α-1/8β）] =(2√7-3π)/8+2α+1/2β (ただしα、βは弧度法の角でα=arcsin(5-√7)/8、β=arcsin(√7-1)/4) α≒0.298703…、β≒0.424031…なので S≒0.18675…くらいです。
- seble
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