微分

質問

英文での質問ですみません、以下が問題です。

The diagram shows the curve with equation y = x(x-2)².
The minimum point on the curve has coordinates (a, 0) and the x-coordinate of the maximum point is b, where a band b are constants.

1)State the value of a.
2) Find the value of b.
3)Find the area of the shaded region
4)The gradient, dy/dx, of the curve has a minimum value m. Find the value of m.
答えは１）a=2 2) b=2/3 3)4/3 4)　印刷が悪くて答えが見えません。

1)は大丈夫です。
２)以降がよくわかりません。
ｂの値を求める為にしたことは、傾き＝０を求めようと y = x(x-2)²　を微分しました。
多分これがきちんと出来ていない為 ２)以降が出来ないと思うのですが。
y = x(x-2)²→y=x³-4x²+4x, 　dy/dx=3x²-4x+4 何だか怪しい数字になるのでchain rule を使ってdy/dxを出してみると４ｘ－４と全く違う答えになってしまいます。

どうやって解いたらいいのか教えて頂ければ助かります。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

微分をやり直してください。

2)y = x(x-2)²→y=x³-4x²+4x, 　dy/dx=3x²-4x+4 間違いです。

dy/dx=3x²-8x+4

dy/dx=0より

(x-2)(x-2/3)=0

b=2/3

3)

∫(0→2)[x(x-2)^2]dx=∫(0→2)[x^3-4x^2+4x]dx=(0→2)[x^4/4-4x^3/3+4x^2/2]dx=4/3

4)要するに接線の傾きpの最小値を求めています。

p=dy/dx=3x^2-8x+4

dp/dx=6x-8=0

x=4/3 このとき

p=m=-4/3

これが傾きの最小であることは図からも確認できる。

お礼

>y = x(x-2)²→y=x³-4x²+4x, 　dy/dx=3x²-4x+4 間違いです

本当だ、こんな簡単なところで間違えてるなんて何で気付かなかったのか。。。。
解き方を見せてくれて有難うございます、助かります。

回答No.2

he-goshite-

＞dy/dx=3x²-4x+4
ではなく，
dy/dx=3x²-8x+4
ですね。

お礼

ご指摘有難うございます！