「線型代数学の基本定理」はどうして「基本」？

質問

「線型代数学の基本定理」という定理がありますが、どうしてこの定理が「基本」を名乗れるような立場なのか教えてください。
https://ja.wikipedia.org/wiki/線型代数学の基本定理

私自身はデータアナリストで、行列演算等で線形代数は仕事でもよく使うのですが、この「基本定理」とやらに直接助けられた記憶はありません。
人類への貢献という観点では、例えば方程式や最適化の求解といった面で、世界を支えている定理が他にもたくさんあると思うのですが。。。

・「線型代数学の基本定理」がなぜ「基本」と呼ばれるようになったのか、由来をご存知であれば教えてください。

・「線型代数学の基本定理」の特にすごい応用（キラーアプリケーション）をご存知であれば教えてください。工学的な応用でも、「こんなすごい定理を証明できる」という数学的な応用でも構いません。

よろしくお願いします。

回答No.4

ask-it-aurora · ベストアンサー

まず個人的な印象ですがそもそも「線形代数学の基本定理」というのは標準的な用語ではありません。ウィキペディアでも引用されていますが、ギルバート・ストラングが主に使っているだけだと思います。（まったく使われていないかどうかを確かめるのは実質的に不可能なので、わかりません。）したがって、どうしてそのような名前がつけられているのかを知りたければ彼の書いたものや講義（参考URL）を探してみるしかないと思います。

『ストラング：線形代数イントロダクション』近代科学社 (2015) をちらっと見た中では p. 201 に以下のような記述があります。

〈基本定理は純粋な代数のように見えるが、それには重要な応用がある。（中略）ある節点へ流れ込む量は、流れ出る量に等しい。キルヒホッフの電流の法則は「均衡の等式」である。（私見では）これは応用数学においてもっとも重要な等式である。〉

参考URL：

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/

お礼

> 「線型代数学の基本定理」がなぜ「基本」と呼ばれるようになったのか

に明快に答えていただきました。ありがとうございます。

ストラングさんの書籍を買って読んでみました。
定理の美しさや重要性は理解できたつもりですが、「代数学の基本定理」や「微積分学の基本定理」に比べるとやはり「基本定理っぽさ」は劣るのかなと思いました。

※個人的には「任意の線型写像には（空間の基底が固定された下で）一つの行列を対応させることができる」という命題の方が、「基本定理っぽさ」は上なのではと感じています。この命題によって、いかなる線形空間・線形写像の問題にぶちあたったときも一旦行列の問題に置き換えてよいことが保証され、数え切れない実課題の解決につながったのではないかと思います。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F#%E8%A1%8C%E5%88%97%E8%A1%A8%E7%8F%BE

由来について導いていただきましたので、ask-it-auroraをベストアンサーにさせていただきたいと思います。ありがとうございました。

回答No.3

ddtddtddt

#1です。

　じつはこの図は手製なんです(^^;)。いまちょうど某プログで初等線形代数の話をやってまして、そこで使った図を流用しました。決して読みやすいとは思いませんが、よければどうぞ(^^)。

　http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/archive/c2306147163-1

回答No.2

nihonsumire

難しいことは分かりませんが、「この定理により、数体系をこれ以上拡張する必要がなくなった（複素素数体は代数的閉体である）」（参）からではないでしょうか。
参）代数学の基本定理 - 富山大学理学部
http://www.sci.u-toyama.ac.jp/topics/files/topics79.pdf

お礼

調べていただいてありがとうございます。
参照いただいているのは「代数学の基本定理」ですね。私の知りたい「線型代数学の基本定理」とは名前は似ていますが残念ながら異なります。

調べていただいたように「代数学の基本定理」はそのインパクトが分かりやすいですね。このくらいのインパクトが「線型代数学の基本定理」にあるのかな、というのが今回の質問の意図です。

回答No.1

ddtddtddt

Wikiは、ここで良いですかね？。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86

　ここで良いなら、けっきょく線形写像（線形変換）の標準分解に関する話になると思います。標準分解は、勝手に個人的にそう呼んでるものですが、添付図になります（わかりやすいので線形変換にしました）。

　図のImage(Ａ)がWikiの像，ker(Ａ)が核，Image(Ａ)の直和補空間が余像，ker(Ａ)の直和補空間R(Ａ)が余核です。A|R(A)は、線形変換A：V→VのR(A)への制限，(A|R(A))^(-1)はその逆変換を表します。

　この図の意味は、Aの定義域からker(A)を除いて考えれば、R(A)上でAは正則だという事です。ker(A)の任意のベクトルのAによる像は0ですから、実質的に使いたいのはR(A)上の結果のはずです。そこで線形変換（線形写像）は必ず全単射で逆行列を持つという、素晴らしい性質を持つ事になります。

　この定理自体ちょっとした驚きではないですか？(^^)。例えばこれを押さえておくと、固有空間（根空間）への直和分解定理の証明を、ユークリッドの互助法でなく、ベクトルの独立／従属の性質のみに基づいて証明可能になります。

お礼

"Aの定義域からker(A)を除いて考えれば~線形変換（線形写像）は必ず全単射で逆行列を持つ"

なるほど、このご利益を例えば方程式Ax=bを解くことに置き換えるとこういうことでしょうか。

・Aは必ずしも正則ではないため、x=A^(-1)b みたいな安直な解はない
・しかしb∈im(A)であるならば、基本定理から、R(A)の中にはAx=bとなる解xr∈R(A)が "必ず" "一点だけ" 存在することが保証される
・Ax=bの解は、この "一点だけ" の xr と、ker(A)の和空間となる

つまり方程式Ax=bという解が無数にある難しそうな問題に対して、「R(A)の中にあるxr一点を探しにいけば十分だよ」という方向付けをしてくれることが基本定理のご利益の一つなのかなと理解しました。

分かりやすい図でしたので、差し支えなければ図の出典の書籍？URL？を教えてもらえると嬉しいです。