センタレス研磨加工の重心（？）算出方法

質問

お世話になります。
基本的な物理の問題になると思うのですが、知恵を貸してください。

現場で、段付きの金属棒にセンタレス研磨加工を行うことが多いのですが、
センタレスの砥石の間にのせた時、棒の自重を支えてやらないといけないかどうかを、図面から簡単な計算式で判断するにはどうしたらいいでしょうか？

例えば、以下のような段付き金属棒があったとして、

全長150mm　1段目Φ30.0×30.0　2段目Φ10.0×120

これの2段目をセンタレス研磨加工する時に、
加工物を支えてやらないとならないかを判別したいです。
単純に体積や重量を算出しても、多分支点からの距離が必要になるので
回答がでそうにありません。
3DCADをつかえば、重心をだすことはできると思うのですが、
重心が支点に対してどこにあるか（例でいえばΦ30の方に重心があれば支えが必要、Φ10の方に重心があれば支えは不要）で判断できるものでしょうか？

センタレス研磨とは
http://www.seikenkogyo.co.jp/merit-01.html

回答No.1

noname#230359

重心の位置を測る側から見て、仮に左側から１０段の棒の重心位置を計算するとするなら、左からの棒の外径と長さをそれぞれ、
(D1,L1),(D2,L2),(D3,L3),,,(D9,L9),(D10,L10)とすれば、

左側から重心までの距離Ｒは、

Ｒ＝(π/4)*{(D1^2)(L1/2)+(D2^2)(L2/2+L1)+(D3^2)((L3/2+L2+L1)+,,,(D10^2)(L10/2+L9+L8+L7+L6+L5+L4+L3+L2+L1)} / (π/4)*{(D1^2)+(D2^2))+(D3^2)+(D4^2)(D5^2))+(D6^2))+(D7^2))+(D8^2))+(D9^2))+(D10^2)}

つまり、

Ｒ＝[ (D1^2){L1}+(D2^2){L2+2L1}+(D3^2){L3+2(L2+L1)}+,,,
+(D10^2){L10+2*(L9+L8+L7+L6+L5+L4+L3+L2+L1)} ] / [ 2* {(D1^2)+(D2^2)+(D3^2)+(D4^2)+(D5^2)+(D6^2))+(D7^2))+(D8^2)+(D9^2))+(D10^2)} ]

この計算式を数千円投資した関数電卓にも入れておけば、研磨機の傍で重心位置の計算ができます。仮に４段だとすれば
(D1,L1),(D2,L2),(D3,L3),(D4,L4)だけ入力して残りはゼロとすればよいことになります。

もしもエクセルでも使えるような環境なら入力の手間は殆どかからないでしょう。

お礼

ありがとうございます。
数式を見ているうちに少し混乱してきたので、時間のあるときにノートなどに写して重心計算してみます。