ねじの力学について

質問

現在、台形ねじを使ってトルクを軸方向の推力に変換する機構を設計しています。
推力とトルクの関係は
F=T/(D/2)tan(ρ+β)
F:推力
T:雄ねじに加えるトルク
D:ねじ有効径
ρ:摩擦角
β:リード角
で表されますが、
例えば、雌ねじ（ナット）を拘束して、雄ねじ（ボルト）にトルクをかけて推力に変換するとき、雌ねじ（ナット）に加わるトルクはどのような式で表されますでしょうか？

力学の本を見ながらいろいろ考えたのですが、答えが出ませんでした。
どなたかアドバイス等頂ければ幸いです。よろしくお願い致します。

回答No.4

noname#230359

>
ひょっとして、単なる作用反作用の法則で、ボルトにかけるトルクは100％ナットに逆の方向にかかる
　　T=-Tn
ってことはないですか？
もしそうだったらショック・・・

そうだったら，私もショックです。

　こんな流れでしょうか。。。。

　ねじ面において，ねじを締付ける力Ｐは，
　　　Ｐ＝Ｗ・tan(β+ρ)

　Ｐは，軸直角方向の荷重なので，ねじリード面の直角方向と平行方向にＰを分解して，その直角方向の分力Ｐ１＝Ｐ・sinβとする。ねじリード面に平行な力はトルクには無関係であるので，考慮する必要がない。

　そして，ナットに伝達されるトルクＴｎ＝Ｐ１・μを計算する。
　よって，伝達効率η＝Ｔｎ／Ｔ

回答No.3

noname#230359

＞　　　Tｎ＝T・η 　　　η＝tan(β－ρ)/ tan(β+ρ)
だとすると、β＜ρ の時、ナットに伝達されるトルクはゼロということになりませんか？摺動部に摩擦があれば、摩擦力によってナットを引きずる力が発生しますよね。

　おっしゃるとおりですね。

　ゼロというよりは，マイナスになりますね。はたして，リード角β＜摩擦係数μの状態とは，いかに？

　「β－μ」のプラス成分が効率に寄与するはずですが，マイナスの効率は効率がゼロになるまでの消費トルクを表すのか，申し訳ありませんが，考えが及びません。何かもう一つ考慮する要素が抜けているのかもしれません。まだ，研究の余地がありそうです。

　反って混乱させてしまい，申し訳ありませんでした。

お礼

ひょっとして、単なる作用反作用の法則で、ボルトにかけるトルクは100％ナットに逆の方向にかかる
　　T=-Tn
ってことはないですか？
もしそうだったらショック・・・

回答No.2

noname#230359

力及びトルクの伝達を，次のように考えてはどうでしょうか。
　『?ボルトにトルク付加→?ボルトに軸力発生→?ナットにその軸力が伝達→?その軸力をナットのトルクに変換』

　そして，?から?までの各過程における効率を考えます。
?→?：η12＝η１　　　η１=tanβ/tan(β+ρ)
?→?：η23＝η２＝１　（軸力はそのまま損失なく伝達される＝作用反作用）
?→?：η34＝η３　　　η３=tan(β－ρ)/tanβ

　よって，全効率ηは，
　　η＝η１２・η２３・η３４＝tanβ/tan(β+ρ)・tan(β－ρ)/tanβ＝tan(β－ρ)/ tan(β+ρ)

　したがって，ナットに伝達されるトルクTｎは，
　　　Tｎ＝T・η
と表すことができます。

　ところで，「台形ねじを使ってトルクを軸方向の推力に変換する機構」において，このようにナットに伝達するトルクの効率がなぜ必要になるのか，興味がありますので，支障ない範囲で教えていただければうれしく思います。このような機構では，レンチなどで与えたトルクの締付力に変換（回転運動を直線運動に変換）される効率を把握すれば良いと考えていますが。

お礼

あまり詳しくは書けませんが、実は今考えているのはナットは固定ではなく、ナットとボルトがある差回転を持って共に回転することによってボルトのトルクを推力に変換しつつ、ナットへトルクを伝達するという機構を考えています。
ところで、yukioさんの回答を読んだとき、最初、なるほど！！と思ったのですが・・・
　　　Tｎ＝T・η 　　　η＝tan(β－ρ)/ tan(β+ρ)
だとすると、β＜ρ の時、ナットに伝達されるトルクはゼロということになりませんか？摺動部に摩擦があれば、摩擦力によってナットを引きずる力が発生しますよね。

回答No.1

noname#230359

こういう場合，初心に帰って考えることが有効かもしれません。

　「保存の法則」が成立すると考えるのが一般的ではないでしょうか。すなわち，与えたエネルギー（トルク，熱量，仕事なども同様）は，損失など消滅した分以外全て伝達され，途中で加えたり減じなければ，エネルギーは一定になります。

　例えば，加えたトルクをＴ，損失をＬ，伝えたトルクをＴ１とすれば，
　　　Ｔ＝Ｌ＋Ｔ１
となります。つまり，Ｔは，ＬとＴ１に別れただけで，増加しないし，減少もしません。

　損失Ｌは，
? ボルトのトルクを推力に変えるときの損失
? その推力をナットのトルクに変えるときの損失
の二つになり，具体的には，熱や音によってその損失が現れます。

　一般的には，Ｔ１／Ｔを（動作中の）伝達効率と表現していて，伝達面の摩擦係数に影響されますが，このようなネジの伝達効率は0.9程度になるのではないかと思います。つまり，ナットに伝達するトルクＴ１≒0.9Ｔとなります。当然ですが，ボルトもナットも停止していて，ボルトにトルクを与えた状態では，熱も音も発生しないので，伝達効率は100％です。

　なお，伝達効率または伝えたトルクＴ１は，計算式はなく，実験式から伝達効率を求めます。

お礼

回答ありがとうございます。
理論式は無いのですか？簡単な力学だけなのでありそうな気がするのですが・・・

エネルギー保存という考え方からみると、ボルトに加えたトルクが推力に変換される効率は
η=tanβ/tan(β+ρ)
ですので、
?ボルトのトルクを推力に変えるときの損失
は、1-η ですよね。
また、ナットは回転方向に固定されているので、ナットにする仕事量はゼロ、すなわち、
?その推力をナットのトルクに変えるときの損失
はゼロということになりますか？ もし、そうだとすると、1-η がナットに伝達されるトルクになるのですかねぇ？
もう少し考えてみます。