無限級数の計算方法について
- 無限級数の計算方法について質問があります。
- 本にはΣ[m=0,M-1] z^m = (1-z^M) / (1-z)と書かれていますが、理解できていません。
- 他の本にはf(z) = (初項) / { 1 - (公比) }と書かれており、初項は(1-z^M)、公比はzだとされています。しかし、式を展開するとΣ[m=0,M-1] z^m = 1 + z^1 + z^2 + z^3 + … + z^Mとなるため、初項は1ではないのか疑問です。間違いをご指摘していただけると助かります。
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Σ[m=0,M-1] z^m
本に Σ[m=0,M-1] z^m = (1-z^M) / (1-z) と書いてありますが、理解できていません。 他の本に 無限級数の計算は f(z) = (初項) / { 1 - (公比) } ただし|z|<1 …と書いてありました。 それに従うと、 (初項)=(1-z^M) (公比)=z になります。 しかし、式を展開すると、 Σ[m=0,M-1] z^m = 1 + z^1 + z^2 + z^3 + … + z^M ということですよね? (公比)=z は認めますが、 (初項)=1 じゃないんですか? 多分、私が間違っていると思いますので、間違いをご指摘下さい。 では、お願いします。
- futureworld
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先ず > Σ[m=0,M-1] z^m というのはそもそも『無限』級数でないでしょう? Σの上に書いてある『M-1』は有限の何かの自然数であって、無限大ではないですよ。 その上で、 Σ[m=0,M-1] z^m = (1-z^M) / (1-z) を示すには、A = Σ[m=0,M-1] z^m に対して zAを計算して、A-zA が確かに 1-z^Mになることを示せばよい...って多分高校のときやりましたよね?
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- f272
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> 無限級数の計算は > f(z) = (初項) / { 1 - (公比) } > ただし|z|<1 でいいですが,なぜそれをΣ[m=0,M-1] z^m = (1-z^M) / (1-z)という部分和と比較するのですか?無限級数であれば Σ[m=0,∞] z^m = 1 / (1-z) ですから,何の矛盾もありません。
お礼
確かに無限級数⇔部分をでした。 ご指摘、ありがとうございました。
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