指数の問題です

質問

No.9367387 では、多くの方々から助言をいただきました。ありがとうございます。実は、
≪本来の問題≫
　a>0, b>0, c >0 であるa, b, cが
a^(bc) = b^(ca) = c^(ab)
をみたすとき，
a，b，c のうち少なくとも2つは等しいことを証明せよ。
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という問題であったのですが、子どもが
(1/a) log a = (1/b) log b だから、a=b
と解いていたもので、質問させていただきました。
　本来の問題も教えていただければ、ありがたいです。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

実は https://okwave.jp/qa/q9367387.html の内容をよく検討すれば、回答は見えてきます。

方針（見通し）：
x^y = y^x (x,y > 0)となる <x, y>の組み合わせを調べる事は、変形すると(1/x)log(x) = (1/y)log(y)となるから、結局f(t) = (1/t)log(t) [t>0]の増減を調べることと一致する。f(t)の増減を調べると、極大点が一つ[x=e]、極小点は存在しないことが分かる。ここから、0<x<yで、x^y = y^x となるには、実は0<x<e<yとならなければならないことが分かる。
そうすると、0<x<y<zかつ、x^y=y^xかつy^z = z^yとなる事はない事が分かる。

すこし詳細：
a, b, cが全て異なるとして、矛盾が生じることを言えば良い。そこで、0<a<b<cとして、一般性を失わない。
先ずa^(bc) = b^(ca) を変形すると、(a^b)^c = (b^a)^cより、a^b = b^a。よってblog(a) = alog(b)。よって、(1/a)log(a) = (1/b)log(b)。同様に、 b^(ca) = c^(ab)から(1/b)log(b) = (1/c)log(c)が出てくる。まとめると(1/a)log(a) = (1/b)log(b) = (1/c)log(c)。
これは、f(t) = (1/t)log(t)とおくと、0<a<b<cかつf(a) = f(b) = f(c)を表す。
そこで、f(t) = (1/t)log(t) [t>0]の増減を調べると、f'(t) = (1/(t^2)) (1-log(t))から、f(t)は、0<t≦eで「狭義」単調増加、t=eで極大、e≦tで「狭義」単調減少である。
従って、もし0<x<yで、f(x) = f(y)となるなら、0<x<e<yとならなければならない。なぜならy≦eなら、0<t≦eでf(t)は「狭義」単調増加だからf(x) < f(y)。又e≦xなら、f(t)はe≦tで「狭義」単調減少だからf(y)< f(x)、従ってどちらも駄目であり、e<y, かつx<e、従って0<x<e<yである。

ここから、0<a<bかつf(a) = f(b) からe<b。又、0<b<cかつf(b) = f(c)から b<eである。これは矛盾である。

追記：
昔、大学入試で、「ｅのπ乗とπのｅ乗を比較せよ」という問題が出た事があります。こういう問題を見た事があれば、この手の発想は出てきます。

お礼

丁寧な説明、ありがとうございます。導関数を使うことは思いもよりませんでした。ひたすら、ひたすら式変形を試みていた自分の浅学さを感じているところです。でも、やはり数学はますます好きになりました。

回答No.3

178-tall

>"d<0なら・・"という部分が子どもには印象的だった …

蛇足ながら、f(x) = (1/x)*LN(x) の増減の補完版でも。

　 x 　　f(x)　 増減
　--　　---　　----
　 0　　- ∞
　　　　　　　　　↑
　 1　　　0
　　　　　　　　　↑
　 e 　 　1/e
　　　　　　　　　↓
　 ∞　　　0

お礼

ていねいな補説、いえいえ親切なフォローありがとうございます。微分は素晴らしいなと、あらためて微分の魅力に酔っているところです。

回答No.2

178-tall

>≪本来の問題≫
>　a>0, b>0, c >0 であるa, b, cが
>a^(bc) = b^(ca) = c^(ab)
>をみたすとき，
>a，b，c のうち少なくとも2つは等しいことを証明せよ。

たとえば、a^(bc) = b^(ca) をみたすとき、
　a^(bc) = e^{ bc*LN(a) }, b^(ca) = e^{ ca*LN(b) }
だろうから、
　bc*LN(a) = ca*LN(b)
　LN(a)/a = LN(b)/b
が成立。

だとすると≪本来の問題≫ では、
　LN(a)/a = LN(b)/b = LN(c)/c (= d)
がなり立つはず。

QNo.9367387 を参照すると、
　0≦d＜1/e なら {a, b ,c} のうち高々 2 つが相異なる値をとり、少なくとも 2 つは等しい
　d＜0 なら {a, b ,c} のすべてが相等しい
… ということになりそうです。

お礼

お忙しいところ、ありがとうございます。分数関数と対数関数とのグラフで処理すると、きれいに解決されてすっきりです。"d<0なら・・"という部分が子どもには印象的だったことをこの場をお借りしてお知らせいたします。