マルコフ過程の定常状態を利用しての確率問題について
１匹のハツカネズミがリング形の円形籠内に入れられている。籠は通路で連結された３つの仕切り１，２，３をもっている。ハツカネズミは１時間に２回、仕切り１から仕切り２へ行き、１から３へ４回行く。また、２から１へ６回、２から３へ４回行く、最後に３から１へ３回、３から２へ１回行くことが実験的に長期にわたり観察されている。ハツカネズミはt=0で仕切り１にいることが観察された。１５分の終りに、ハツカネズミが仕切り１にいる確率はいくらか。
連続マルコフ過程に対する微分方程式は
dP1/dt=-6P1+6P2+3P3,
dP2/dt=2P1-10P2+P3,
dP3/dt=4P1+4P2-4P3 で、
定常状態確率は平衡方程式をといて、P1(∞)=3/8,P2(∞)=1/8,およびP3(∞)=1/2となる。
ここまでは理解できますが、これから先が良く解りません。
係数行列の特性根はつぎの方程式を満たす：
{{-6 - r, 2, 4},{6, -10 - r, 4},{3, 1, -4 - r}} = 0
これよりr=0,-8,および-12が得られる。
この辺りの計算の仕方は出来ますが、以降不明な事ばかりです。
それゆえ、過程に対する微分方程式の解はつぎの形をとる：
P1(t)=3/8+A1e^-8t +A2e^-12t
P2(t)=1/8+B1e^-8t +B2e^-12t
P3(t)=1/2+(-A1-B1)e^-8t +(-A2-B2)e^-12t
この式はどの様な導出過程から現れるのかお教え下さい。
第３方程式の係数は、すべてのtの値に対し、P1(t)+P2(t)+P3(t)=1を満たすようでなければならないことに注意せよ。
もし、P1(t),P2(t),およびP3(t)に対するこの解を、いま３微分方程式のどれかの１つに代入する、たとえば、初めの式に代入すれば、定数間のつぎの関係式が得られる：
-8A1e^-8t -12A2e^-12t = -6A1e^-8t -6A2e^-12t +6B1e^-8t +6B2e^-12t +3(-A1-B1)e^-8t +3(-A2-B2)e^-12t
この関係式の具体的な導出過程をお教え下さい。
それゆえ、e^-8tとe^-12tとの係数を等しく置くと、つぎの２つの方程式が展開される：
-8A1=-6A1+6B1-3A1-3B1
-12A2=-6A2+6B2-3A2-3B2
そこで、B1=A1/3およびB2=-A2が得られる。
何故e^-8tとe^-12tとの係数を等しく置くと２つの方程式に出来るのか具体的な導出過程をお教え下さい。また、何故e^-8tとe^-12tとの係数を等しく置く事が良いのかお教え下さい。
他の２方程式に代入しなくて、１つの微分方程式に代入するだけで十分である。これは理論から示唆されていた。もちろん、その理由は、３定数がすでに定常状態値として決定されているということである。そして、これらの値は系を満たす。
そこで、この特殊なマルコフ過程の微分方程式の解は、
P1(t)=3/8+A1e^-8t +A2e^-12t
P2(t)=1/8+A1/3 e^-8t -A2e^-12t
P3(t)=1/2-4A1/3 e^-8t
である。
任意の定数の正しい個数がいま存在し、これらの定数は、初期条件P1(0)=1,P2(0)=0,P3(0)=0から、1=3/8 +A1+A2,および0=1/8 +A1/3 -A2を満たすように、決定されなければならない。これらより、A1=3/8およびA2=2/8が得られる。
A1=3/8、A2=2/8は式を計算して求める事は出来ますが、どの様な事を言っているのか解りません。お教え下さい。（この初期条件を代入するなりした？その導出過程を丁寧に示して下さい。）
微分方程式と境界条件を満たす最終解は
P1(t)=3/8+(3/8)e^-8t +(2/8)e^-12t
P2(t)=1/8+(1/8) e^-8t -(2/8)e^-12t
P3(t)=1/2-(1/2) e^-8t
である。そこで、ハツカネズミが、t=1/4において１にいる確率は
P1(1/4)=3/8+(3/8)e^-2 +(2/8)e^-3 =(1/8)3e^3+3e+2/e^3で約0.44である。
最後は単に数値を代入しているだけのようなので解ります。
