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命題の否定
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#1です、既にtwins-mamaさんの分かりやすい説明がありますので、 これはおまけと思ってください。 (X⇒Y)≡(~X∨Y)を説明します。 例として、『100点ならば合格である』を用います。 この論理式(X⇒Y)に論理変数X,Yのとり得るすべての値の組み合わせを代入して、 この例の論理式の値を求めると、下のようになります。 論理変数X,Yのとり得る値 (100点⇒合格)での解釈 論理式(X⇒Y)の値 ============================================================================== 100点(T),合格 (T) 言ったことは正しい(真) T 100点(T),不合格(F) 言ったことは嘘である(偽) F 100点でない(F),合格(T) 言ったことは嘘ではない(すなわち真である) T 100点でない(F),不合格(F) 言ったことは正しい(真) T 上のどの組み合わせでも式(X⇒Y)の値は、(~X∨Y)と完全に一致します。 したがって、(X⇒Y)≡(~X∨Y)です。 >これは暗記してしまうしかないのでしょうか?? 私も論理記号’ならば’の解釈・使用方法には、かなり苦労しました。 結局、記号論理学を学びはじめた頃、私は(X⇒Y)≡(~X∨Y)を暗記しました。 学習が進んで、そのうち、【嘘ではない】は【真である】と直ちにすんなりと自然に 受け入れられるようになった段階で、腑に落ちるようになりました。
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- twins-mama
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>流れは理解する事が出来たのですが、 > X⇒Y ( XならばYである )は、~X∨Y ( Xでな い、またはYである )の同値な別表現である と言う部分のイメージがなかなかつかむ事が出来ま せん。 「宝くじで1等が当たれば、100万円あげるよ」 と約束した人が”嘘つき”と言われるのは 宝くじで1等が当たっても100万円くれないとき です。だから、 (1)宝くじで1等が当たらない (2)宝くじで1等が当たっても当たらなくても100万円あげる 場合は嘘つきにはならない。 というイメージで私は理解しています。砕け過ぎですか??
お礼
ご解答ありがとうございます! 宝くじで一等が当たる⇒100万円あげる = 宝くじで一等が当たらない 又は 当たっても当たらなくても100万円あげる イコールはこの場合嘘にならない場合と考えれば良いのですね。 なんとなくイメージがつかめてきました!
- grothendieck
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AとXに関連性があるをA~Xと書くことにします。「AとXとに関連性があれば、AとYに関連性が無い」は (A~X)⇒¬(A~Y)=¬(A~X)∨¬(A~Y) なのでその否定は(A~X)∧(A~Y)となります。一方、 「AとYとに関連性があれば、AとXに関連性がある」は (A~Y)⇒(A~X)=¬(A~Y)∨(A~X) なのでその否定は(A~Y)∧¬(A~X)となります。 「AとXとに関連性があれば、AとYに関連性がある」は (A~X)⇒(A~Y)=¬(A~X)∨(A~Y) なのでその否定は(A~X)∧¬(A~Y)となります。
お礼
ご解答ありがとうございます! よろしければ (A~X)⇒¬(A~Y)=¬(A~X)∨¬(A~Y) と言う部分についてのイメージがつかめないので 教えていただけるとありがたいです。
- i536
- ベストアンサー率32% (75/231)
AとBに関連性があることを、F(A,B)で表記するとします。 また、論理記号{⇒,~,∨,∧}を、それぞれ、 {ならば,否定,または,かつ}とします。 'ならば'を含んだ文で、ぜひとも覚えておかなければならないことは、 X⇒Y ( XならばYである )は、~X∨Y ( Xでない、またはYである ) の同値な別表現であるということです。 --- 「AとXとに関連性があれば、AとYに関連性が無い」は、 下記(1)で表現できます。 F(A,X)⇒~F(A,Y)---(1) 式(1)は、次式(2)と同値です。 ~F(A,X)∨~F(A,Y)---(2) 式(2)は、 「AとXとに関連性がないか、または、AとYに関連性がない」となります。 式(2)の否定は、式(3)です。 ~(~F(A,X)∨~F(A,Y))---(3) ド・モルガンの法則より、式(3)は式(4)と同値です。 F(A,X)∧F(A,Y)---(4) 式(4)を言葉に直すと、 「AとXに関連性があり、かつ、AとYに関連性がある」 上の文で表現が同じでくどい部分を省略し、 また、’かつ’と’および’は同じ意味なので、 答えであった下記文になります。 「AはXおよびYと関連性がある」 もちろん、下記も正解です。 「AはXかつYに関連性がある」 「AはXとYとに関連性がある」 --- 「AとYとに関連性があれば、AとXに関連性がある」 F(A,Y)⇒F(A,X) ~F(A,Y)∨F(A,X) --- ⇒を∨で表す F(A,X)∨~F(A,Y) ----交換法則を用いる 最後の式は、 「AとXとに関連性があるか、または、AとYに関連性がない」となります。 「AとXとに関連性があれば、AとYに関連性がある」 F(A,X)⇒F(A,Y) ~F(A,X)∨F(A,Y) --- ⇒を∨で表す 最後の式は、 「AとXとに関連性がないか、または、AとYに関連性がある」となります。 --- ∧,∨.~の組み合わせは、交換を無視すると、8種類あります。 いずれも、意味が異なります(もちろん日本語表現も)。 F(A,X)∧F(A,Y) ~F(A,X)∧F(A,Y) F(A,X)∧~F(A,Y) ~F(A,X)∧~F(A,Y) F(A,X)∨F(A,Y) ~F(A,X)∨F(A,Y) F(A,X)∨~F(A,Y) ~F(A,X)∨~F(A,Y)
お礼
丁寧にご解答いただき本当にありがとうございました! 流れは理解する事が出来たのですが、 > X⇒Y ( XならばYである )は、~X∨Y ( Xでない、またはYである )の同値な別表現である と言う部分のイメージがなかなかつかむ事が出来ません。これは暗記してしまうしかないのでしょうか??
補足
例えば 100点⇒合格 = 100点でない又は、合格である。 は、同じ事を言っているように見えないのですが、同じであると言う事でしょうか?
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