数学の素養がおありの方m(__)m 小学生確率

質問

息子に　確率の問題をだされたのですが・・・
答えを教えてくれません。
（自分で答えが分かって出しているのか…もちょっと怪しいです。）

答えが気になります。
お教え頂けないでしょうか。

(1)命中率１０パーセントのスナイパーが１０人います。
10人が一斉に標的に撃った時　標的が狙撃される確率は？

（・・・・バカな母は…あれ？　１/10だけど…×10？　あれ？？…
息子はニヤニヤしています・・。）

(2)グラス(水)が三つあります。
この三つのグラスの一つだけに毒薬を入れます。
二人で死を賭けてこのグラスの水を(交互に)飲みます。
先に飲むのと　後で飲むのでは　死ぬ(毒入りを飲む)確率・死なない(毒入りを飲まない)確率は同じでしょうか？　違うでしょうか？

宜しくお願いいたしますm(__)m。

回答No.3

kanemoto_s · ベストアンサー

まあ、慌てずに。100%はありえませんから、考え方が間違ってるんですよ。
えっと、高校数学の問題ですね。

(1)他の方も回答されてますが、
1-0.9^10
で約0.65です。
直感だと間違える代表例で有名です。

全てが外れる確率は
(1-1/10)^10 ここで^10は同じ数同士を10回かけた数で一回外す確率が1-1/10=0.9
を計算してから1から外れる結果を引いて答えを出します。

n回に1回当たるくじn回引いて当たる確率
1-(1-1/n)^n
はnが大きくなるにつれて約0.63に近づきます。nが2の時は0.75、3で0.70、4で0.68です。
この数は自然対数の底をe(=約2.7)として、
1-1/e
で表せます。高校数学の理系ではかなり当たり前の話(それを回答できずに国立大学受験に合格する奴などまずいない)で簡単に証明できるのですが、それを知らない人にはかなり疑問な話でしょうね。

(2)交互に飲むことが味噌で最初に飲んだ人は2回目が回ってきたら必ず死んでしまいます。
最初に飲む人が2/3
最初に飲まない人が1/3 (2回目を飲む必要があるとは限らないので最初に飲まない人と表記)
です。

最初に飲む人が1回目に死ぬ確率は1/3
最初に飲まない人に毒入りを引くかもしれない順番が回ってくる確率は2/3
最初に飲まない人が飲んで死ぬ確率は1/2(残ったコップは2つなので)だけど、順番が回ってくる確率が2/3だから、死ぬ確率は(2/3)×(1/2)=1/3
最初に飲む人にまた順番が回ってくる確率は1-1/3-1/3=1/3
で回ってきたら確実に死んでしまいます。
なので、最初に飲む人が死ぬ確率は1/3+1/3=2/3
最初に飲まない人が死ぬ確率は1/3
となります。

回答が上記以外なら確率の問題ではない問題と言うことになりますね。数学の問題ではまったく同じ事象が発生する確率は同等としますので。

問題があるとしたら「後に飲む人」という表現や毒薬の致死率が書いてない点でしょうか。
最初に飲む人が死んでもコップを飲む前提になっているので、問題に少々問題がありますね。生存確定の状況ではコップを飲まないのが常識的です。
また毒薬が致死性とも書いてないので両方に生き残るチャンスがあると受け止める人がいるかも分かりません。
問題に問題がないか確認した方がよいかもしれません。

お礼

ありがとうございました。
再度丁寧なご回答をありがとうございました。
理解に至りましたm(__)m。感謝ですm(__)m。

補足

ご回答ありがとうございました。

(1)…わかりました！！(自然対数eは…ムリムリレベルでございますが…)

(2)…〖3つあるグラスのうち一つだけ毒入りのグラスがあり 二人の人間が順番にグラスを選ぶ(初めの人は３つから＆次の人は２つからの)場合は、最初に選ぼうと後で選ぼうと　毒入りグラスを選ぶ確率は(選ばない確率も)同じ〗
さらに、次に選んだ(飲んだ)人も生きていて、それで終わるのではなく、 最初に飲んだ人が必ず最後の(毒入りの)グラスを飲まなければいけないとした場合 (ロシアンルーレットみたいに死ぬまで続ける場合)…

➡【交互に飲むことが味噌で最初に飲んだ人は2回目が回ってきたら必ず死んでしまいます。】
→そうなのです…！！

しかし…
〖最初に飲む人にまた順番が回ってくる確率は1-1/3-1/3=1/3〗のところで
理解できず　う～ん…と固まっております。

最初に毒入りを選んでしまう確率(1/3)+最後に毒入りを飲まなければならなくなる確率(2/3×１/２＝１/3)＝【2/3】と考えたのですが・・・
〖1-1/3-1/3=1/3〗が理解できずにおります・・・。

当方…本当に…情けないぐらい算数ができないのです…。
(これ以上は無理かも…ではありますが…)かみ砕いてご説明頂けましたらありがたいです。申し訳ありません。

回答No.5

kanemoto_s

#3です。
>『どっちも同じ。毒入りの確率は1/3だよ。

別のところで国語の問題が出ましたね。
問題での「交互」はたがいたがいにという意味で同じ意味の言葉を続けることで「互いに」とは別の意味になってしまうのです。
ですので、交互と書けば同じ人に2回目が回ってくると解釈するのが一般的ですね。一回ずつなら「互いに」と書くのが数学の問題では一般的ですが、まあ小学生のすることなので仕方ないでしょうかね。

>最初に毒入りを選んでしまう確率(1/3)+最後に毒入りを飲まなければならなくなる確率(2/3×１/２＝１/3)＝【2/3】と考えたのですが・・・

確率の問題には複数の解き方があるので上記でも問題ないですよ。

私が書いたのは最初に飲む人が1回目で毒に当たらない(1/3)かつ、最初に飲まない人が毒に当たらない確率(1/3)なので
1-(1/3+1/3)
1からあり得ない数値を引いてます。
(最初に飲む人が最初に毒に当たる確率が入ってない数値なので2/3ではないです)
で、1からあり得ない数値を引く以外にも
最初に飲む人が毒を外す確率2/3に最初に飲まない人が毒に当たらない確率1/2を掛けて
(2/3)×(1/2)=1/3
としても正解です。
どちらの結果から最初に飲む人が1回目で毒に当たる確率を足し合わせて2/3にしても解答は同じでどちらも正解です。

同様に最初に飲まない人が毒に当たる確率は1/3で2人共当たらない確率は0なので
1-(1/3+0)=2/3
が最初に飲む人が毒に当たる確率としても正解です。

確率の問題では、あり得ない確率を引く方法と、あり得る確率を掛け合わせる(もしくは足し合わせる)方法の二つが常にあるような状態で、どちらでも同じ結果になり正解です。

蛇足ですが、このように計算方法を色々変えることができるので、確率の問題は違う方法で答え合わせしながら解いていくと計算間違いのリスクが圧倒的に減ります。受験生以外にはあまり関係ないですが。
もし計算が速い代わりにミスの多い特性があるのなら参考にしてみてください。

お礼

ご回答ありがとうございました。
わかりました！！！

最近時々『問題作ったから解いてみて～。』と持ってこられるのですが、
解答が正しいのかも怪しく、『ちゃんと考えてよ～。』と答えも出し惜しみするので　イラッとさせられておりました。

[互いに]と[交互に]の違いも伝えます。

ふふふ・・・お陰様で…
今回は　偉そうに(自信たっぷりに＆ドヤ顔で)解答させて頂けますm(__)m。

(1)は　昨夜ソフアーでうとうとしている息子に答えを聞きましたら、『…90％くらい…説明？？…それは明日にして…。』と言っていましたので、息子の解答は間違っていると思います。
(2)に関しても　[最初の人が運悪く最後の毒入りを飲む確率]を突っ込もうと思います。

何度も丁寧なご説明をありがとうございました。

回答No.4

noname#227653

(1) 10人全員の銃弾が当たってもたったひとりの銃弾が当たっても狙撃は成功ということになりますね。
こういう場合は、10人全員の銃弾が外れる確率を考えます。
スナイパーNo.１からNo.10まで10人いるとすると、まずNo.１が外す確率が1/10です。そして更にNo.２も外す確率は1/10×1/10で1/100です。更にNo.３も外す確率は1/10×1/10×1/10で1/1000です。同じように計算すると10人全員が外す確率は1/10を10回かけて1/10000000000となりますね。百億分の一です。ですから、狙撃される確率は１からこれを引けばいいわけです。百億分の九十九億九千九百九十九万九千九百九十九となりますね。

(2)　ふたりがそれぞれひとつずつグラスを選んで飲む、ということでしょうか。それなら先に飲んでも後で飲んでも変わりません。1/3です。
ただし、一人目が飲んだ後で、その結果を見てからであれば当然確率は変わります。
一人目が飲んで死んでしまった場合、二人目が死ぬ確率は０になります。当たり前ですね。
また、一人目が飲んで死ななかった場合、毒は残りのふたつのどちらかに入っているのですから、二人目が死ぬ確率は1/2になります。これも当たり前ですね。
グラスを選んだ時点での確率は、先に飲む人も後で飲む人も1/3です。

次のように考えるとわかりやすいでしょう。
あなたがこのふたりのうちのひとりだとします。
あなたはグラスをひとつ選びました。もうひとりも選びました。
このあと、ふたりは別々の部屋にグラスを持って入りました。
あなたの前にあるグラスには毒が入っているかもしれないし、入っていないかもしれません。
ここで、後で飲む方が毒である確率が低いと仮定します。
もしそうなら、別の部屋にいるもうひとりより遅く飲めば死ぬ確率が低くなるはずです。つまり、なるべく長く飲まずに待っている方が死ぬ確率が低くなるのです。
しかし、グラスの中の液体を眺めながらじっとしているうちに、その液体が毒である確率がだんだん低くなってくるなんてことはありえませんよね。それは次第にその液体の性質が変わってくるということですから、ありえないということはすぐわかるでしょう。
どちらが先に飲んでも死ぬ確率は変わりません。

宝くじで考えてみてもいいでしょう。あとから結果を知った方が当たる確率が高いなら、有効期限ぎりぎりまで待ってから自分の買った宝くじが当たりかどうか調べる方が得だということになりますが、そんなことだれもしませんよね。
人より先に調べても後から調べても、確率は変わらないのです。

以上ですがいかがでしょうか。

お礼

(1)は狙撃率90％のスナイパーの場合として理解させて頂けました。
(2)は　【最初に飲む(選ぶ)】か【後にに飲む(選ぶ)】かの場合は　どちらも毒入りを飲む確率は１/３と理解できました。
時間がなかったもので 息子からは『どっちも同じ。毒入りの確率は1/3だよ。先に飲んでも後に飲んでも同じ。』という答えしか聞けず、問題の詳細も確認できないままなのですが…
〖3つあるグラスのうち一つだけ毒入りのグラスがあり 二人の人間が順番にグラスを選ぶ(初めの人は３つから＆次の人は２つからの)場合は、最初に選ぼうと後で選ぼうと　毒入りグラスを選ぶ確率は(選ばない確率も)同じ〗
という事が理解できました。
ありがとうございました。
あとは……さらに次に選んだ(飲んだ)人も生きていて 最初に飲んだ人が必ず最後の(毒入りの)グラスを飲まなければいけないとした場合(ロシアンルーレットみたいに死ぬまで続ける場合)…こちらを考えてみたいと思います。

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

Hayashi_Trek

本当に小学生の問題ですか？

(1) 狙撃が失敗するのは全員が外した時で確率は＝0.9^10＝0.34
狙撃が成功するのは全員外れ以外なので、1-0.34＝0.66＝66%

(2) 先攻は１番目と３番目のコップを必ず飲む。（確率は2/3）
後攻は２番目のコップのみを飲む。（確率は1/3）
でどうでしょう？

お礼

ご回答ありがとうございました。
(１)のご説明、理解できました。(２)は…私の頭では…(トホホ…)。
もう少し考えてみます。
ありがとうございました。

回答No.1

Dr_Hyper

小学生の問題だから引っかけやとんちなのかな？

（１）は普通に考えて確率的には必ず一発は当たると思いますが、その標的が隠れたから０％とか言いそう。

（２）は難しくて、最初に飲む人と後に飲む人が先にグラスを決めてしまうのであれば　
1/3どうしですが、最初のひとが飲んで死んだ場合、後の人は０％で先の人が死ななかった場合50%になります。この二人は同じ土俵に立っていないのでこのような場合わけが生まれます。

お礼

とんちではなく　算数の問題の様です。
ご回答ありがとうございました。