- 締切済み
極限値とグラフの概形
f(x)=(e^x)/x f'(x)={(e^x)(x-1)}/x^2 のグラフを書くとき、以下のような計算が出てきました。 lim₍x→+∞₎(e^x)/x=+∞, lim₍x→-∞₎(e^x)/x=0, lim₍x→+0₎(e^x)/x=+∞, lim₍x→-0₎(e^x)/x=-∞ 四つのlimから、グラフのどのような形が導けるか教えてください。
- situmonn9876
- お礼率91% (646/703)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
みんなの回答
- info222_
- ベストアンサー率61% (1053/1707)
>四つのlimから、グラフのどのような形が導けるか教えてください。 >lim₍x→+∞₎(e^x)/x=+∞ これから x→+∞のとき f(x)→+∞ になることがわかる。 >lim₍x→-∞₎(e^x)/x=0, これからは x→-∞のときX軸(y=0)が漸近線になる ことがわかる。 >lim₍x→+0₎(e^x)/x=+∞, >lim₍x→-0₎(e^x)/x=-∞ この２つから x→+0のとき x=0(y軸)が漸近線になることがわかる。 かつ x→+0のときはy→+∞になり、x→-0のときはy→-∞になる。 ことがわかります。 なお、グラフの概形を描くにはこの外の情報も必要になります（増減表を完成させる必要あり）。
- bran111
- ベストアンサー率49% (512/1037)
f'(1)=0も考慮する必要があります。4つの極限値と極小値(x=1でf(1)=e)を増減表に整理するのが基本です。ｘ＜0では単調減少、ｘ＞0では極小値(x=1でf(1)=e)を持つ減少→増加曲線。 f(x)はe^xと1/ｘの積。極小値をとるx=1でy=f(x)とy=e^xが交差し、x>1では e^x>e^x/x>1/x。またe^xと1/ｘの交点はｘ≒0.57、f(0.57)≒3.1 以上をグラフにすればよい。
お礼
具体的な数を、教えていただきありがとうございます。
関連するQ&A
- グラフの概形について
x＝f(t) , y＝g(t) (ｔはパラメータ）で表される関数のグラフの概形を書く手順を教えてください。 特に１：増減表の形 ２：漸近線の求め方と漸近線を求める位置 をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定形の極限について
お世話になっております。 分数関数の極限についての質問です。 具体的には f(x)=x^2/(x-1) のグラフを描く教科書の例題にあるような基本的なものです。 グラフを描くために、漸近線の方程式を求めるのは必要な過程と思います。 上の例題の場合、 関数f(x)の定義域x≠1に対して、x→1 の時のf(x)の極限値を求めるのに、教科書でははしょって即座に lim[x→1+0]f(x)=∞ としてますが、実際計算で有理化とかしても、「定数/0」の形になってしまうので、極限値の性質 lim[x→a]{f(x)・g(x)}=αβ (但し、lim[x→a]f(x)=α、lim[x→a]g(x)=βが前提) を利用して、g(x)=x^2、 h(x)=1/(x-1) みたいに考えたら、前者のx→1の両側極限は容易に求められますし、後者はグラフから求められます。 結果、 lim[x→1+0]f(x)=1・∞=∞ lim[x→1-0]f(x)=1・(-∞)=-∞ とようやく教科書の記述に至ったのですが、実際こんな面倒な手順でないと導けないものでしょうか？ ロピタルの定理は、一応概要には触れましたが、不完全なのでご回答にはお使い下さらないでいただきたいです。 ご助言いただけると有り難いです。宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- グラフの概形をしめす？？
y=x^3+xのグラフの概形を示せと言う問題の解説に「ｙ’=3ｘ＾2＋1より、全ての実数xに対してy'>0である。したがってこの関数は増加関数であるがy'=0となることがない。また、この関数のグラフは原点に関して対称である。関数の増減だけからこのグラフの形の細かい点について知ることはできないがx=0のときy'=1であることからグラフが原点で直線y=xに接していることがわかる。」とあったのですが、なぜいきなり「この関数のグラフも原点に関して対称である」ということができるのでしょうか？グラフが原点に関して対象ではなく、値は分からないけどx≠0ではないどこかのxの値に関して対称でグラフが原点で直線y=xに接しているということもありえるのではないか？と思えてしまいます・・ お願いします！教えてください！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値
f(x)=e^(-1/2)/x^2 について、 lim[x→+0] f(x) が求まりません。 私はまず対数を取って、 logf(x)=-(2xlogx+1)/x ・・・ (1) 次にロピタルの定理より、 lim[x→+0] logf(x)=lim[x→+0] -2(logx+1)=+∞ ・・・ (2) ∴lim[x→+0] f(x)=e^(+∞)=+∞ このように解きました。 しかし、(1)式によれば、lim[x→+0] xlogx=0 より、lim[x→+0] logf(x)=-∞ 、 lim[x→+0] f(x) = e^(-∞) = 0 となってもよさそうなものです。(但しこの場合は(1)式右辺の分母について、lim[x→+0] x=0 より、数学的に正しくないと思われる) 実際にy=f(x)をコンピュータでプロットした結果は、lim[x→+0] f(x) = e^(-∞) = 0 となりましたが、(1)式からロピタルの定理によって(2)式を導出することになんらかの問題があったのでしょうか？ 繰り返しますが、(1)式からロピタルの定理を用いて lim[x→+0] f(x) を求められない問題について、質問致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- このグラフの概形は？
f(x) = | | | x-p | -q | -r | であらわさられるグラフの概形はどのようになりますでしょうか？ なお、p,q,rは、任意の実数をとります。 それらの変化によって、どのようにグラフの慨形は決まるのでしょうか？ 自分がわかるのは、絶対値記号が３つなので、でもって、2^3=8なので、 ８つの「線分OR半直線」（線分が６つ、半直線が２つ）からなる折れ線なのかな、、、ということです。。。 （って、間違ってないですよね？） あと、こういうようにグラフの式を書くと、グラフを描画してくれるサイトがあったと思うのですが、 どこだか忘れてしまいました。 ご存じでしたら、それも、教えていただけないでしょうか？ よろしくお願い申し上げます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
お返事ありがとうございます。